Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Ok, tackar.

Sen har jag en till här:

Ett lyckohjul snurrar 3 ggr. Hur stor är sannolikheten att poängsumman blir minst 6?

Hjulet är indelat i 8 st lika stora delar markerade 1-8.

Vore schysst om man kunde få svar redan i kväll.

Det där var en väldigt konstig fråga. Om fåglarna är där minst 13 min/h så är man väl säker på att träffa på en om man är där åtminstone en timme?

Räkna antalet utfall då poängsumman är mindre än 6:
1-1-1
1-1-2
1-1-3
1-2-1
1-2-2
1-3-1
2-1-1
2-1-2
2-2-1
3-1-1

sannolikheten att få en poängsumma mindre än 6 är alltså 10/8^3

hmm...nu när du säger det håller med, jag måste skrivit av det fel...:(

Men kan inte de utfallen du skrivit upp kombineras på 3 olika sätt iom att det är tre snurror(eller en tre ggr i rad)? Alltså:

10 * 3 = 30

512 möjliga utfall, 512-30 =482

P = 482/512 = ~0,94

Kort svar: Nej det finns bara 10 möjligheter.

Kolla varje kolonn, Allt kombinationer som börjar med varje siffra finns med för varje hjul redan.

Om man generear slumptal me formeln xn=axn-1 mod (m) kan man som mest få en talföljd som är m-1 lång. Men har man istället formeln: xn=ax^2n-1 får man färre tal.

Om man tänker sig att man kvadrera alla tal mellan 1 och m-1 och man använder sig av mod m på dem. Deta ger att talföljder som är hälften så långa. Stämmer de om man gör på detta sett?

När man generera slumptal vill man ha en så lång period som möjligt varför?
Jag tycker att eftersom det ändå är slumpen som avgör borde de inte spela någon roll, om man ändra fröet hella tiden.

Du genererar inte slumptal, du har ju en förbestämd algoritm som alltid ger samma svar utifrån samma "input" ... man vill ha en lång period för att perioden just är en period, den upprepar sig ... ju längre period desto längre följd innan den börjar från början.

Står stilla i mitt huvud, kan något visa att 2^(18n)*(3n+1)-1 == 0 (mod 3) för alla n?

2^(18n) * (3n + 1) - 1 == ((-1)^18)^n * (1) - 1 == 1^n - 1 == 0 (mod 3).

Om man har ett tal, ex; 0,684931506849315068493150.... Finns det något allmänt sätt att visa att [68493150] upprepar sig?

Ja, flera metoder, det är nämnligen ett bråktal. Låt
x = 0,684931506849315068493150

Då är 10^8*x = 68493150.68493150... alltså är 10^8*x-x = 68493150, detta ger:
x*(10^8 - 1) = 68493150 <=> x = 68493150/(10^8 - 1) = 68493150/99999999 = 50/73. Du får nu att x är ett bråktal, dessa uppprepar sig med en bestämd ändlig period ...

Edit: Eller ja, det kan ju vara ett irrationellt tal som börjar så, men jag tolkar det som att du vet att talet fortsätter så men vill ha det bevisat. Äsch, blev flummigt nu

Mm, jag vet att det fortsätter så.

Det jag vill veta är om det finns någon metod/sätt att visa hur en viss del av decimaldelen upprepar sig som om vi har talet, 0.12345678905050505050505050505 ...
vill jag vissa att delen [05] upprepar sig i oändliget.

David L: Är det ett Project Euler-problem du fiskar efter lösning på igen? Din fråga är lite flummig. Det Hedis försökte säga är att om talet är rationellt så har det oändlig decimalupprepning, annars inte. Ditt tal ovan är inte väldefinierat; vad menar du med "..."? Man kan inte säga något om talet om man inte vet vad det är.

David
uhm, precis. Den enda anledningen att det upprepar sig som du säger är för att du säger att det gör det.
Att bevisa att ett bråk får oändlig decimalupprepning däremot.

[Diskret matematik, kongruens]
Vilken är den sista siffran i 3^101?
Jag har lyckats lösa uppgift av det här slaget: 70^1066 kong.= r mod 23
där ser man ju att 70 = 23*3 + 1, och därför 70^1066 kong.= 1^1066 mod 23, alltså r=1.
Men hur gör jag nu? Min kongruensekvation blir ju 3^101 kong.= r mod 10 men 10 är ju större än 3.. :/
Svaret blir 3.

3^4 = 1 (mod 10) (enligt Euler/prövning), så (3^4)^25 = 1 (mod 10) <=> 3^100 = 1 (mod 10). Därför är 3^101 = 3 (mod 10).

Strategin är som Muzzafarath säger att leta upp ett tal som är kongruent med 1, exempelvis 81=8*10+1, vilket är kongruent med 1 mod 10. Eftersom 101= 4*25+1 så är
3^101=3*(3^4)^25, därefter utnytjar man räknereglerna för kongruensräkning, om a kongruent b så är också a^m kongruent b^m för alla m tillhör Z. Detta ger att
(3^4)^25 är kongruent med 1^25=1. Däreftet utrnytjas räkneregeln att om a kongruent med b och c kongruent med d, då är cb kongruent med bd. I detta fall 3(3^4)^25 är kongruent med 3*1^25 =3.

Nej, jag fiskar faktiskt inte efter någon lösning till något Project Euler-problem Jag har fått svar på min fråga på annat håll nu iaf... Med "..." menar jag att talet fortsätter.

Ja men som vi försöker säga, du ställer en fråga likt "hur vet jag att ett tal innehåller bara ettor när det bara innehåller ettor"

Det upprepar sig för att du säger att det gör det.

Har någon ett exempel på en bijektion mellan R och R^2 (eller R^n, eller annat bevis för att punkterna på linjen och i planet är lika många)?

En idé är att mappa varannan decimal i ett reellt tal till två olika reella tal, t ex 0.121212... <--> (0.111..., 0.222...). En sådan idé funkar för att visa motsvarande för N och N^2, men det funkar inte för reella talen, eftersom både 1 och 0.909090... mappas till (0.999...,0.000...) = (1,0) (det blir inte en bijektion).

En fråga till: Jag har hört förut om någon sats som antingen var oavgörbar eller obevisad, som sade att det finns en "största" oändlighet. Jag lade den på minnet eftersom den lät konstig. Jag har trott länge att det var Aleph-2 man inte trodde fanns, men det gör det ju (t ex mängden av kurvor i planet). Finns det någon sådan här sats/förmodan eller har jag bara drömt det? :/

edit: David: Du har inte sagt _hur_ det fortsätter.

Då det är lätt att konstruera en bijektiv avbildning mellan R och (0,1) (ta t.ex. en translaterad och skalad version av tan) och således också mellan (0,1)x(0,1) och R^2 så återstår det bara att bevisa att (0,1) och (0,1)x(0,1) har samma kardinalitet.

Vi kan konstruera en injektiv avbildning från (0,1)x(0,1) till (0,1) med sammanflätningsprincipen, om vi förbjuder t.ex. de decimalutvecklingar som avslutas med idel nior och använder de med idel nollor istället. Då har vi en entydig representation.

t.ex. avbildar vi (0.5000..., 0.1000...) -> 0.51000...
Det är uppenbart att vi har en injektiv avbildning eftersom att vi aldrig råkar ut för decimalutvecklnigar med idel nior, så två olika talpar i (0,1)x(0,1) ger två olika tal i (0,1).
Dock har vi inte surjektivitet då inget talpar avbildas på t.ex. 0.01909090...

Vi kan också konstruera en injektiv avbildning från (0,1) till (0,1)x(0,1) helt enkelt genom att ta x -> (x,0)

Enligt Shröder-Bersteins sats existerar det en bijektiv avbildning mellan (0,1) och (0,1)x(0,1) och saken är klar. http://mathworld.wolfram.com/Schroeder-BernsteinTheorem.html

På din andra fråga är svaret att det inte existerar någon största kardinalitet då det bevisats, Cantors sats,att potensmängden (mängden av alla delmängder) av någon mängd alltid har större kardinalitet än mängden själv (och den är väldigt mycket större). Det finns alltså alltid en mängd med högre kardinalitet, ett smått hisnande resultat om man tänker på det.

Tack så mycket.

Trigonometri!

Har en halvcirkel, vi utgår från cirklens botten (att det går ett strek lodrätt från mitten på cirklen.

åt vänter så går cirklen upp en bit, grad antalet e 30
hur får jag fram vilket höjd cirklen slutar på?
http://upl.silentwhisper.net/uplfolders/upload3/fyisk.JPG

hatar Trigonometri får inte ihop sin tan och cos

Rita ett vågrätt streck från där resan slutar in mot mittlinjen, så bildas en triangel med hypotenusa 30 m, vinkel 35 grader. Det du vill finna är cos-sidans längd, och den är cos(35)*30 m

Sinus för en vinkel är lika med motstående katet dividerat med hypotenusan.
Beteckna kateten x. Du har värden på hypotenusans längd och vinkeln. Voila.

Se till att förstå trigonometrin, den är otroligt viktig i mekaniken.

EDIT: var visst inte den sidan du vill veta.

Jag kan inte få ut den här diofantiska ekvationen.

1,6x+4,6y = 61,8 <> 16x+46y=618 <> 8x+23y=309

23=2*8+7
8=1*7+1
7=7*1
SGD (23,8) =1 1|309, så det finns en lösning.

Från SDGberäkningen erhålls. 1=8-7= 8-(23-2*8) = 3*8-23.
Detta ger en linjärkombination av 23 och 8 som är lika med 1.
3*8-23=1 <> 3*309*8-23*309=309
Y=Y0+8n
X=X0-23n vilket ger Y=-309+8n x=927-23n
Därfefter ger villkoren att x,y_>0 att n =(33,34,35,36 och 37). Vart är felet?

-309 + 8n > 0 är ekvivalent med n > 38,625.

927 - 23n > 0 är ekvivalent med n < 40,3... .

Giltiga lösningar får man alltså bara för n = 39 och n = 40.

Fouriertransformen av funktionen f(t) = sin(10t) + 2cos(15t) är lika med i*pi[D(w+10) - D(w-10)] + 2pi[D(w+15) + D(w-15)] där D är dirac-funktionen.
Detta betyder ju teoretiskt att en graf av realdelen kommer att vara 0 överallt förutom på två ställen, vid w = 10 och w = -10, där man har dirac-pulser. En graf av imaginärdelen borde innehålla pulser enbart vid w = 15 och w = - 15.
Men detta verkar inte stämma i det diskreta fallet.
När jag t.ex. gör en diskret fouriertransform av denna funktion med funktionen fft i Matlab och plottar dess realdel respektive imaginärdel kommer båda dessa grafer innehålla båda av de två frekvenserna 10 och 15.
Kan nån förklara detta?

Den transformen förutsätter väl att du har en oändligt stor signal va? Eftersom du använder fft så har du knappast en sådan när du räknar...

Skulle också säga att det måste vara något med fft.
Jag får transformen till samma sak, så ditt resonemang borde vara helt korrekt.

Du har kanske inte råkat sparka på din dator eller något av misstag, så att datorn tog det personligt och transformerar fel åt dig?

Hehe. Nej jag har varit väldigt vårdsam mot datorn, så det är nog inte det.

ilmarinen: Du säger att transformen förutsätter att man har en oändligt lång signal, och det stämmer ju. Det DFT och FFT gör (de diskreta transformerna) är att de jobbar med en ändligt lång lista på funktionsvärden svarande mot något tidsintervall [0,T] istället för en funktion definierad på hela reella axeln. De förutsätter även att funktionen är 0 utanför detta intervall.
Men det jag undrar är varför denna approximation ger ett sånt drastiskt fel som att ge utslag på frekvenser som den kontinuerliga transformen utelämnar helt.