Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

en bra uppgift är att visa rent algebraiskt varför (x,z,y), (y,x,z), (y,z,x), (z,x,y), (z,y,x) alla är lösningar om (x,y,z) är en lösning (permutationerna som JesperT talar om).

utöver lösningen (2,4,7) så existerar också (1,2,16) men sedan finns inga fler.

Finns triviala lösningar (0, 2, 25) och (0, 5, 10) också. Fast jag kanske missat att x,y,z > 0?

Edit: Just ja, det ska vara ett rätblock Dessa gäller inte då.

Det är väl kanske fysikintresserade som gillar vektorer mest, men här är det visst lite vinklar också...

Fyra vektorer (röd, grön och två blåa). De två blåa roterar ihop med den röda (men kan rotera oberoende av varandra; avståndet mellan röd och ena blå är inte nödvändigtvis alltid detsamma som avståndet mellan röd och den andra blå), den gröna gör det inte.

Givet att jag vet värden på samtliga vektorer:
1. Hur kan jag veta om den gröna vektorn är mellan röd och blå? (någon av blå). Vinkeln alltså, längden (storleken) på vektorerna är oviktig.
2. Om vi tänker bort de blåa: hur beräknar jag vilket håll den gröna vektorn måste rotera för att närma sig den röda? Alltså, som kräver minst rotation alltså (i fallet ovan så är det "clockwise", då det bara behövs 22,5 graders rotation qw, ccq (counter-clockwise) kräver 337,5 graders rotation)

Om den "vänstra" blåa vektorn har en vinkel som är lägre än den "högra" blåa så är det relativt lätt att kolla om den gröna vektorn är mellan de två genom att helt enkelt kolla om den gröna vektorns vinkel är lika stor eller större än den vänstra blåa vektorn och lika stor eller mindre än den högra blåa vektorn. Men i fallet ovan blir det betydligt krångligare.

Finns det några bra förslag på hur man kommer förbi "problemet" med att behöva göra extra beräkningar om vinklarna exempelvis är 350 grader och 10 grader?

Du kan vara finurlig och använda skalärprodukten här. Det undviker vinklar helt.

Den röda vektorn beskrivs av (rx,ry) och vi kan då skapa en stödvektor (-ry,rx) som då alltså är vinkelrät mot den röda, och pekar "åt vänster" om man ser till röds riktning.

Den gröna vektorn är (gx,gy) och vi kan då ta skalärprodukten av grön och den vinkelräta
z = (gx,gy).(-ry,rx) = -gx*ry + gy*rx

Om z > 0 så är grön på vänstra halvplanet av röd (d.v.s, grön skall roteras medurs för att närma sig röd)

Likaså kan du kolla om den är innanför kvadranten som de blå spänner upp genom att göra;
z1 = (gx,gy).(bx,by) = gx*bx + gy*by
z2 = (gx,gy).(-by,bx) = -gx*by + gy*bx
Om z1 > 0 och z2 > 0 så finns den innanför de blå vektorerna
(hmm.. här gjorde jag antagandet att det är 90 grader mellan de blå, det kanske inte stämmer? Oavsett kan du bruka samma sorts metod, men du blir tvungen att göra fler kontroller.

Ah, vilken oerhört bra metod! Tack. Nu förstår jag allting. Systemet vi använder för att mäta vinklar är ondskefullt!

Idén är att de två blåa vektorerna kan rotera fritt (och enskilt) samtidigt som de roterar med den röda vektorn.

(förresten, jag antar att du med "(gx,gy).(-ry,rx)" menar "(gx,gy)*(-ry,rx)" ? Eller är . någon egen notation (som jag inte är van vid)?).

Punkten betecknar skalärprodukt (dot-product).
I ett ortogonalt system har du (a,b).(c,d) = a*c + b*d (vilket blir ett tal, d.v.s. en skalär - därav namnet).
Det finns ett till sätt att multiplicera vektorer som ger en vektor som resultat.

Skalärprodukten definieras som A.B = |A|*|B|*cos(den minsta vinkeln mellan vektorerna).

Om det inte är 90 grader mellan de blå får vi testa bägge;
Kalla dem
(bx1,by1)
och
(bx2,by2)

(gx,gy).(-by1,bx1) > 0 ger att grön är till vänster om b1
(gx,gy).(-by2,bx2) > 0 ger att grön är till vänster om b2

där an du avgöra om den är till vänster eller höger om samtliga vektorer, så du får pussla ihop och ta ut vad du vill ha.
höger om b1 OCH vänster om b2 == innanför kvadranten i bilden

OBS! Detta funkar inte så simpelt om det är mer än 180 grader mellan de blå (hmm, borde vara att byta till ELLER), men om vinklarna börjar bli så stora börjar det bli odefinerat vad du egentligen vill ha.

I just det här fallet så skapar jag de blåa vektorerna från den röda, så egentligen är det bara att utgå från den röda och sedan rotera den för att få den blåa (ganska självklart).

z = gx * rx + gy * ry
gör att grön får rotera totalt 180 grader, 90 grader per håll från röd. Genom att rotera röd på olika sätt kan jag höja/minska hur mycket grön får rotera.
Så för att välja vinkeln 30 grader från röd på den vänstra blåa så är det bara att rotera den röda vektorn med 90-30 = 60 grader cw.

Då jag vet vilket håll den gröna roterar så behöver jag ju egentligen inte kolla båda blåa, bara den blå som jag riskerar att "rotera över". Sålänge de blå inte är mer än 180 grader (dvs. jag roterar inte röd mer än 90 grader åt något håll) så fungerar det utmärkt (jag behöver inte kunna rotera mer än 180 grader).

Inte särskilt matematiskt rigoröst, men det fungerar utmärkt i spelprogrammering, där tid (att skapa nya vektorer osv.) är prestanda

Aham, givetvis, glömde det. Tack.

Om man har en cos2x = cosx, är

{ x = n*2pi
{ x = n*(2pi)/3

Ett korrekt svar?

Sedan har jag också en fråga om en krånglig ekvation, vi har att

sin(2x + pi/6) = cos(pi/9) då 0 < x < pi

Jag börjar genast att flytta över cosinus, byter ut den mot sqrt(1-sin^2x) och löser rotekvationen. Får ett rätt svar, och ett fel. Kan skriva ned därifrån jag eventuellt gör fel?

sin(2x + pi/6) - sin(pi/9) = 1 <=>
2x + pi/6 - pi/9 = 1,57 rad + n2pi <=>

{ 2x = 1,57 - pi/18 + n2pi
{ 2x = pi-(1,57 - pi/18) + n2pi

{ x = 0,70 + npi
{ x = 1,75 + npi

Enligt facit är svaret 0,35 och 0,70 när man tagit hänsyn till intervallet. Jag får som synes 0,70 och 1,75 då n=0?

Har problem med trigonometri

Här är ett av problemen jag har svårt att lösa:

Triangeln ABC är rätvinklig med rät vinkel vid hörnet C och vinkel x vid hörnet B.
Beräkna b = |AC|, givet att c = |AB| = 6, och att tan x = 2/4

Tacksam för genomgång.

Hur beräknar man inversen till funktionen f(x)=arctan(x)^2 + 2arctan ?

om du sätter t.ex. s=atan(x)
kan du lösa s^2 + 2s = y ?
klarar du resten själv?

Jag tror det, det borde väl bli -1 +-Sqrt(2)

Vad gjorde du av y?
arctan(x) = s = -1 +- sqrt(1-y)

Tack,

Sen undrar jag också hur man beräknar detta gränsvärde mha Taylorutveckling.

ln(cos x)/sin x

(runt x = 0)
f(x) = ln(cos x)/sin x
f'(x) = sin x/cos x
f''(x) = (2cos x +2sin x)/cos^2(x)
f'''(x) = sin 2x/cos^2(x)

Men derivatorna innehåller ju i sin tur sin x och cos x ?
Hur löser man det?

Hmm, menar du att man ska skriva upp en utveckling för varje funktion separat, eller att man ska se ln(cos x) som en sammansatt funktion och derivera den för att sedan sätta in taylor polynomen för sin x och cos x?

Varför ändrade du till 2? Det är fel, kontrollera själv så ser du att det skall vara 1.

Blir väl lättare om man först använder trignometriska ettan, sedan gör variabelbyte för att få bort cosinus, och sedan bara taylor-utvecklar logaritmen? Så slpper man att utveckla både sin och cos. Fast var en massa år sedan jag höll på med sånt så kan ha väldigt fel.

Sen undrar jag lite över en enkel differentialekvation

dx/dt = e^x * sin t

Eftersom den är separabel tänkte jag att man kunde skriva om den som: dx/e^x = sin t dt och sedan integrera vilket skulle ge x = -cos t

men det är fel. Varför?

e^-x dx = sin(t) dt

-e^-x = -cos(t) + C

e^-x = cos(t) - C

x = - ln( cos(t) - C ) = - ln( cos(t) + D )

Så blir det väl?

Får inte detta att gå ihop, räknar ut dom olika termerna försig o sen adderar, men det blir fel..

((3^4(3^2)^2)/(9^3))+(1/3)^-1 får jag till 10/3. Vilket e fel.

efter några steg ser det ut så här:

((3^4*3^4)/3^9) + 3, till slut (1/3)+ (9/3)= 10/3.

Hjälp mig se slarvet..