Linjär algebra

Kunde inte låta bli att länka till den här filmen:
http://www.informatik.umu.se/~svps0009/files/skalarprodukt.mp...

Den vanliga geometriska skalärptodukten brukar man förklara som ett relativt längdmått.

Om du har "A dot B" så är det A:s komponent längs B. Du drar ett streck vinkelrätt mot B som skär A:s slutpunkt. Skalärprodukten är av längden av den vektor som går drån origo till den punkt där linjen från A skär B:s linje, multiplicerat med B:s längd.

Lite klurigt, och jag har inte tillgång till något ritprogram nu.

EDIT:

Ett exempel kanske...

A = (2, 1)
B = (1, 0)

A dot B = 2

En linje från (2, 1) ner paralellt mot x-axeln skär den axeln vid (2, 0)
Denna vektor har längden 2, och B har längden 1, alltså är svaret 2.

Givet två vektorer u och v så skulle man kunna illustrera skalärprodukten som mellan u och v, (u.v) som det avstånd i v's riktning som u skulle hamna om man skulle dra en rät linje från v till u (linjen ska vara vinkelrät med v). dvs. den punkt i v's riktning som medför kortaste avståndet från u till v.

Speciellt om u och v är vinkelräta blir skalärprodukten noll.
Detta tar man som en definition: Om (u.v) = 0 sägs u och v vara ortogonala. dvs.
u och v ortogonala <==> (u.v)=0

Ett annat exempel på hur man kan illustrera skalärprodukten är genom att ta in lite fysik.
Antag att något rör sig under inverkan av tynggdkraften F. Förflyttningen under ett visst tidintervall representeras av vektorn r. Vi vet(gör vi?) att det av kraften utförda arbetet W är lika med produkten av förflyttningens längd, dvs längden på r, |r| och kraftens projektion på förflyttningsriktningen, dvs. |F| cos[r,F]. Där [r,F] betecknar den MINSTA vinkeln mellan vektorerna r och F. Således får vi arbetet W till följande:

W = |r|(|F|cos[r,F]).

Men detta är inget annat än hur skalärprodukten definieras mellan r och F.
W = (r.F)

Ps. Det kommer kanske en bild senare...
Ds

Skalärprodukten är definerad (låt oss använda . som operator för att undvika förvirring med multiplikation) för två vektorer u, v med vinkeln alpha mellan u.v = |u||v*cos(alpha). Skalärprodukten är alltså ett tal, utan geometrisk tolkning.

Det mounte förklarar först är projektion, vill säga att man projicerar en vektor på en annan. Söker man projektionen av u på v och kallar den u' (som i hans bild) har vi att u' = (u.v)*v/|v|^2. Det är väl så nära geometrisk tolkning du kan komma.

Däremot missade mounte att dividera med längden på v när han beräknade längden av u'
Vi har att |u'| = |(u.v)*v/|v|^2| = |u||v|*cos(alpha)*|v|/|v|^2 = |u|*cos(alpha).

Ok så bra förklarat av damme. Själv tänkte jag bara inflika att du kan ställa mattefrågor här:
http://www.sweclockers.com/forum/showthread.php?s=&threadid=3...
"Dina matteproblem löses här!!!"

damme, om du inte missat totalt så har jag skrivit |u'| dvs. längden på den projicerade vektorn vilket stämmer helt korrekt med vad jag skrivit.