Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

xy + xz + yz = N och x,y,z,N heltal.

Jag lekte lite i Python och hittade:

Om N >= 8 kan skrivas på formen 6k+2 existerar en lösning x=1 och y=2.
Om N >= 14 kan skrivas på formen 10k+4 existerar en lösning x=1 och y=4.
Om N >= 12 kan skrivas på formen 2k existerar en lösning x=2 och y=2.

Bevis? Det har jag inte.

Det är dock inte direkt ett lätt problem det här. För vilka N existerar inga lösningar över huvud taget? Denna fråga har intressant nog kopplingar till Riemannhypotesen, och det ger väl ledtrådar att detta är ett klurigt problem. Se: http://projecteuclid.org/Dienst/Repository/1.0/Disseminate/eu...

Edit: Jag tycker jag känner igen det här problemet, har möjligtvis jobbat på något fall av det tidigare. Ska rota lite.

Jag har tänkt såhär:

xy+xz+yz=50

Bryter ut x

x(y+z)+yz=50

subtraherar med yz i båda leden

x(y+z)=50-yz

Dividerar med y+z i båda leden

x=(50-yz)/(y+z)

Sätter in x i ursprungliga funktionen

((50-yz)/(y+z))y+((50-yz)/(y+z))z+yz=50

Expanderar vänster led

(50y-y^2z/(y+z))+(50z-z^2y/(y+z))+yz=50

Sätter uttrycken i vänster led i samma bråk pga gemensam nämnare

(50y-y^2z+50z-z^2y/(y+z))+yz=50

Subtraherar med yz i båda leden

50y-y^2z+50z-z^2y/(y+z)=50-yz

Multiplikation med (y+z) i båda leden ger

50y-y^2z+50z-z^2y=(50-yz)(y+z)

Expanderar vi uttrycket i höger led får vi

50y-y^2z+50z-z^2y=50y-y^2z+50z-z^2y

Detta ger oss att

0=0

Kritik på min lösningsmetod?

Kom precis på det

Lösningen kan ju inte vara att man ska testa sig fram...

EDIT:
Kan det kanske lösas genom integraler och möjligtvis newton raphson?

http://www.math.kth.se/~lhakan/Nr14april18.pdf

Matte D

För att inte sabba hela problemet för dig så ger jag några hints,

betrakta xy+xz+yz = 50
vi kan enkelt bestämma t.ex. x
x = ( 50 - yz ) / (y+z)
men på samma sätt kan vi bestämma både y och z
y = (50-xz)/(x+z)
z = (50-xy)/(x+y)
vad kan man se från detta? självklart symmetrier antalet lösningar kommer vara en multipel av 2 eftersom om (x1, y1, z1) är en lösning så kommer också (x1, z1, y1) vara en lösning.

okej, vi är intresserad av heltalslösningar, vi fokuserar på uttrycket:
x = ( 50 - yz ) / (y+z)
och finner då att divisionen: ( 50 - yz ) / (y+z) måste gå jämt ut eftersom x är ett heltal, således har vi att:
( 50 - yz ) = k*(y+z) för något k, vidare så måste yz < 50 annars blir x negativt

nu har du:
x = ( 50 - yz ) / (y+z)
( 50 - yz ) = k*(y+z) för något k
yz < 50
samt att om (x1, y1, z1) är en lösning så kommer också (x1, z1, y1) vara en lösning

klarar du resten själv?

Helt rätt Elgot... missade att det var "jätte-symmetriskt"
så mitt påstående att det är n*2 lösningar stämmer, men det korrekta är att antalet lösningar är en multipel av 6.

Tänkte precis redigera mitt inlägg, men lägger ett nytt istället

Lite mer kuriosa...
Vidare finns endast 201 kombinationer av y och z sådanna att y*z < 50
och om antalet lösningar ska vara en multipel av 6 så finns bara alternativen att det är: n*6 antal lösningar för n € Z+ [0, 33]

Ni menar alltså att det inte finns någon generell lösning utan man ska testa sig fram?

DVS jag är fortfarande lost

pga av hög förmultningshastighet så kommer löven avta exponentiellt enligt e^(-0.75*t) men eftersom det finns två parametrar vi inte känner: initiell lövmassa samt skogens area så finns det lite olika scenarion.
massan som ligger på marken vid år t är enligt:
m(t) = 4*A + exp(-(3/4)*t)*(m0-4*A)
där A är skogens area och m0 är initiell massa. vi ser att då t blir stort så kommer enda kvarvarande termen vara 4*A, den stationära massan beror således på skogens area (rimligt).

Till att börja med är detta en diskret modell, för det andra tar den inte hänsyn till en initiell mängd löv för det tredje så bör summan vara från 0 till i-1 där i är antal år annars kommer det efter första året finnas "mer" löv än vad som fallit. Det största problemet är dock att modellen är diskret, "när förmultnar löven?" hela tiden eller massor vid ett tillfälle?

MEN, för stora t (eller i) så konvergerar lösningarna

Fortfarande ingen som kan hjälpa mig?

Repeterar frågan:
Rätblockets Begränsningsarea

Finns det ett rätblock vars sidor kan mätas i hela längdenheter och vars begränsningsarea är 100 areaenheter? Finns det mer än ett? Försök hitta alla rätblock som uppfyller vilkoret och ge sedan en övertygande argumentering för att du hittat alla.

Kan man förenkla ln(x)/ln(y) på något sätt?

log_y(x)

y-logaritmen för x enligt http://sv.wikipedia.org/wiki/Ln

Varför det blir så vet jag dock inte, det kanske någon annan kan svara på.

y^(ln(x)/ln(y)) = e^(ln(y) * ln(x)/ln(y)) = e^ln(x) = x. Eftersom y^ln(x)/ln(y) = x, så måste ln(x)/ln(y) vara y-logaritmen för x.

Jag är den första som vill erkänna att mitt inlägg var en aning syrligt, ber om ursäkt för det.
Jag ville egentligen inte att det skulle låta som att något av lösningsförslagen var bättre eller sämre, båda har sina fördelar. Om man löser:
m'(t) = 3*Area - 0.75*m(t)
så finner man att lösningen med m(0) = m0 är:
m(t) = 4*Area+exp(-(3/4)*t)*(m0-4*Area)

så inbakat i konstanten 4 finns den 3g/area-enhet (otydligt av mig).

Så kontentan av det hela: Zartax, förlåt för mitt/mina påhopp.
wixia, försök lösa problem på flera sätt de har alla sina för och nackdelar.

mounte / over and out

Jag har problem med att lösa följande primitiva funktion:

Bestäm en primitiv funktion till f(x)=e^sqrt(x)

Ska man sätta sqrt(x) till t eller något annat finurligt?

Tacksam för hjälp

Om du behöver mer ledtrådar än vad Elgot redan gett:

Sedan kan du säkert fortsätta.

Okej boys jag har spånat lite till...

Rätblockets Begränsningsarea

"Finns det ett rätblock vars sidor kan mätas i hela längdenheter och vars begränsningsarea är 100 areaenheter? Finns det mer än ett? Försök hitta alla rätblock som uppfyller vilkoret och ge sedan en övertygande argumentering för att du hittat alla."

Jag har ett rätblock där bottens kanter kallas A, B, C respektive D. De paralella kanterna på ovansidan kallas A1, B1, C1 respektive D1

Vinkeln ABD=Q
Vinkeln ABD1=W
BD=k

Begränsningsarean kan skrivas:
S=2(AD x DD1) + 2(AB x DD1) + 2(AB x AD)=2(DD1 x (AB + AD)) + 2(AB x AD)

Efter detta måste jag göra det jag känner är det mest knackiga i min lösning. Jag sätter 2(AB x AD) till nära noll. det gör att jag exkluderar det ur min beräkning för att i ett senare skede kunna faktorisera.

I triangeln ABD finner vi AB=k x cosQ, AD=k x sinQ

AB är rätvinklig mot A1AD1D därför är AB rätvinklig mot AD

I triangeln D1AB finner vi Ad1=AB x tanW=k x cosQ x tanW

Pyth Sats av sidan ADD1:
(DD1)^2=(AD)^2 + (AD1)^2

följdaktligen är (DD1)^2 =k^2 x cos^2Q x tan^2W - k^2 x sin^2Q=k^2(cos^2Q x (sin^2W/cos^2W) - sin^2Q)=(k^2/cos^2W) x (cos^2Q x sin^2W - sin^2Q x cos^2W)

(bara för att förtydliga så t.ex cos^2Q betyder inte att tan är upphöjt till 2Q utan tan av Q är upphöjt till 2.)

Detta ger oss (DD1)^2=(k^2/cos^2W) x (cosQ x sinW - sinQ x cosW) x (cosQ x sinW + sinQ x cosW)=(k^2/cos^2W) x sin(W-Q) x sin(W+Q)

Roten ur ger:
DD1=(k/cosW) x sqrt(sin(W-Q) x sin(W+Q))
S=100 a.e=2(k/cosW) x sqrt(sin(W-Q) x sin(W+Q)) x (k x cosQ + k sinQ)=(2k^2(cosQ + sinQ))/cosW x sqrt(sin(W-Q) x sin(W+Q))

S=k^2 x f=100 a.e

f=(2(cosQ + sinQ))/cosW x sqrt(sin(W-Q) x sin(W+Q))

100 a.e kan faktoriseras till:
(100 x 1), (50 x 2), (25 x 4), (20 x 5), (10 x 10)

Det ger oss faktorerna 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 och 100

Vi testar k^2 med alla faktorer och sätter f till den andra faktorn.

Av detta hittar vi att om k^2 är 5 eller om k^2 är antingen 20 eller 50 så får vi två olika rätblock som stämmer in på uppgiftens begränsningar.

Det jag vill göra är att hitta ett lättare sätt att visa varför jag ska använda mig av diagonalen för att lösa detta.

kan jag kanske säga att jag bortser från en variabel(2ab + 2ac + 2bc=100 a.e) för att hitta lösningen?

det kan ju inte vara så att jag måste visa allt det för att bara ersätta mesta delen med bokstaven f som är den andra faktorn.