Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Då blev det ju genast LITE enklare

ah, nu hänger jag med. Jag körde fast på nämnaren a^2 + 1 eftersom jag ville ha bort den så jag kunde lösa det lättare.

3/4 är rätt svar så du har gjort rätt.

ja självklart är det så som du skriver ... värdemängden är -inf < x < = 0, 1 <= x < inf
definitionsmängden är hela R, eftersom funktionen är definierad för alla x € R

Hejsan!

Har ett problem med en uppgift.

Förenkla arctan 6 + arctan 10.

Problemet är alla stegen, tror jag missar någonstans. Är inte heller helt säker på i vilken form svaret/förenklingen ska stå i.

Skulle gärna uppskatta om någon kunde hjälpa mig.

arctan(6) och arctan(10) är två stycken vinklar => leta efter additionsreglen för tan(u+v)

Jo, det är så jag har tänkt men blir inte rätt.

Har gjort såhär:

tan u = 6
tan v = 10

tan (u + v) = - 16/59 (enligt additionsformeln).

Hur går jag vidare här ifrån? Ska jag skriva att (u + v) = arctan -16/59, eller ska svaret vara -16/59? Eller är det något som jag har missat`Tycker det är det där "förenklar" som krånglar till det för mig.

Är riktigt osäker på detta. =/

tan u = 6 => u = arctan(6)
tan v = 10 => v = arctan(10)

=>
arctan(6)+arctan(10 ) = u + v = ....

Det hänger jag med på, men hur är det jag ska göra sen? Sen, om jag gör sådär, då får jag väl ut ett svar, ingen förenkling?

Har provat lite på Wolfram Alpha och fått fram att:

tan(arctan 6 + arctan 10) = (-16/59)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=tan(arctan+6+%2B+arctan+10)+%3D+(-16%2F59)

Vilket stämmer bra med det jag har fått innan enligt additionsformeln med tangens.

Men sen? Kör jag arctan på båda leden blir svaret fel. Vad är det jag ska göra för operation efter detta?

Tack för svaren förövrigt. Uppskattar verkligen om någon skulle kunna förklara detta för mig.

Ska väl läggas till ett pi: arctan(-16/59)+pi

Satt och räknade Matte B för att förfrisk kunskaperna något innan jag börjar läsa Matte C på komvux. Det mesta verkar inte ta för lång tid att lära sig igen, men ett tal hakade jag verkligen upp mig på och förstår inte:

-a^2 * (-a)^-2

Uppgiften går ut på att förenkla uttryck. Jag har kommit så långt som att:
-a^2 = -a*-a = a^2

stämmer?

Sedan kommer den svåra biten:
(-a)^-2, jag förstår inte riktigt. Hade det stått a^-2 så hade det blivit:
1/(a^2)?, men med (-a) blir det vad? Eller tänker jag fel överallt?

Facit säger -1, men har inte med en förenkling, bara svåret. Liksom tack.
Om a = 2 så blir svaret -1, ja! Det har jag kollat med miniräknaren med, men jag får inte till det.

Det är enda frågan i boken som det bara finns Ett exempel av. Utan förklaring...
Jag skulle vara jättetacksam för alla svar!
//pscs3

edit: Svar 10000...

Sätter ut ettor så blir det enklare: (-1*a*a)/(-1*a*-1*a)

Om jag har tre vektorer givna u, v och w - hur ska jag då göra för att undersöka om de ligger i samma plan?

Uppgiften ligger under en kryssproduktslektion - så jag undrar lite smått vad de menar med "i samma plan" och hur man undersöker om de gör det?

// Tack på förhand

Om du tänker på vektorer som pennor så är de i samma plan om alla ligger på samma yta (te x ett bord), skulle en ligga på ett block på bordet är den förskjuten från planet.

Lite hints hur du kan göra. Testa att kryssa två av dem. Hur ser den nya vektorn ut?
Vad måste gälla mellan den sista vektorn (om alla ska ligga i samma plan) och den kryssade, hur kan man kontrollera det?

-a^2*-a^(-2) = -a^2/(-a)^2

nämnaren blir ju positiv för alla reella a så tecknet innanför parantesen spelar ingen roll.

-a^2/a^2 =-(a^2/a^2) = -1.

Septimux:

Om du kan beskriva en av vektorerna som en linjär kombination av de andra ligger de i samma plan.

tex att u = k1*v + k2*w. där k1, k2 är några heltal.

tex är (0,1,1) , (0,0,1) och (0,1,0) i samma plan eftersom (0,1,1) = 1*(0,0,1) + 1*(0,1,0).

Hoppas jag kom ihåg min linjär algebra, tror det ska stämma.

Det finns ett enkelt sätt att kolla om tre vektorer ligger i samma plan, geometriskt kan man t.ex. tolka det som att räkna ut volymen av den parallellepiped (rätblock) som utgörs av de tre vektorerna.

se t.ex. http://www.ltcconline.net/greenl/courses/107/Vectors/DOTCROS....

Om vektorerna ligger i samma plan så är parallellepipedens volym noll eftersom den är "tillplattad" om vektorerna ligger i samma plan.

så givet vektorerna a,b,c räkna ut trippelprodukten:
a.(b x c) där . betecknar skalärprodukt och x kryssprodukt.

Alternativt så kan man räkna ut determinanten för matrisen
M = [a; b; c]
om determinanten är noll så ligger vektorerna i samma plan

Aaah, så dum jag känner mig! Förstår fortfarande inte riktigt...
Hur fungerar delen:
(-a)^-2? Den är väl inte lika med a^-2 (1/a^2)? Den måste bli negativ men jag förstår inte hur (-a)^-2 funkar tillsammans med (-a)^-2. Hittar inga fler exempel på det än detta talet så har inget att jämföra med.

Tack för svaren dock!
//pscs3

x^-2 = 1/(x^2) definition!
och nu är
x = -a

(-a)^-2 = 1/((-a)^2) = ?
Nej, den måste inte (och blir inte) negativ.

Ja, det låter mycket vettigt!

Stämmer även detta?
-a^2*(1/((-a)^2)) = a^2*(1/(-a)^2)

Om a = 2 så blir det senare:
2*2*(1/(-2*-2)) = 4*1/4 = 1

Men svaret ska bli -1... Jag får inte ihop det.

Variabeln a är alltid bara a.

En liten omskrivning av det du verkar ha problem med:

Säg att du delar upp talet minus a i -1 och a. Det är fortfarande samma sak.

(-a)^-2 = (-1*a)^-2

x^-2 kan skrivas om till 1/(x^2) Vi gör samma sak på ditt tal.

(-1*a)^-2 = 1/(-1*a)^2

Detta går att utveckla till 1/a^2:

1/((-1*a)*(-1*a)) = 1/(-1^2*a^2) = 1/(1*a^2)=1/(a^2)

Om du nu kollar på det tal du hade tidigare

-a^2 * (-a)^-2

Den andra termen ( (-a)^-2 ) skrev vi om till 1/(a^2)

-a^2*(-a)^-2 = -a^2*(1/(a^2)) = (-a^2) / (a^2)

Kommer du ihåg knepet med att skriva ut ettan tidigare.

-1*a^2 delat med a^2. Vad blir kvar?

Puh, va jobbigt det blev att skriva ut en så liten omskrivning såhär.

Jag tror det börjar klarna lite nu! Stort tack!

(-a)^-2 = (-1*a)^-2 = 1/(-1*a)^2 = 1/(-1^2*a^2) = 1/(a^2)

-a^2*(-a)^-2 = -a^2*(1/(a^2)), det förstår jag, men första biten:

-a^2, varför lösa ut den? Det blir ju -2*-2 som är 4... Men då stämmer det inte med facit, som säger -1... Men om jag gör det borde det inte bli (-1*a)^2 istället för -1*(a^2)? =/

Och brukar man lösa ut negativa tal på det viset, bara att Alla (verkligen Alla) andra tal i boken är för enkla för att det ska behövas?

Mycket tacksam för det utförliga svaret!
//pscs3

Jag tror du blandar ihop -a^2 och (-a)^2 ibland. -a^2, dvs. -(a^2) = -(a*a) = -a*a, är inte (generellt sett) samma som (-a)^2 = (-1*a)^2 = (-1*-1)(a*a) = a*a.

Det låter mycket, mycket vettigt! Jag tror jag kan få ihop det här i huvudet snart! Ska bara sova upp batteriet!

Finns det någon chans att just denna delen; (-a)^-2 heter något särskilt för att läsa lite mer om? Tycker att boken är väldigt dålig på att förklara varför man sak göra som man gör, den visar mest hur man gör det vilket inte är lika givande.

Tackar så oerhört mycket för all hjälp jag fått under kvällen!
//pscs3

Vill du ha ett bevis eller vadå?

Annars är ju regeln att a upphöjt till något tal n:

a^-n=1/(a^n)

Mer när a är negativt så förstår inte mitt huvud hur uträkningen går ihop... Jag får klura på det mer i ensamhet och med boken.

Hittade också en väldigt störande uppgift:

Anta att du vunnit en frågetävling i en TV-show och att du som belöning får chansen att vinna en bil. Du får välja en av tre stängda dörrar, A, B och C. Bakom en dörr finns en riktig bil och bakom de två andra leksaksbilar. Vi säger att du väljer dörr A. Programledaren känner till vad som döljer sig bakom dörrarna. Hon öppnar då en av de båda kvarvarande dörrarna som hon vet döljer en leksaksbil. Vi antar att dörr B öpnnas och du ser att bakom den finns en leksaksbil. Programledaren frågar dig nu: Vill du byta till dörr C eller vill du behålla ditt första val A?

Hur bör du göra för att ha störst chans att vinna den riktiga bilen: stå fast vi A eller byta till C? Vad säger dig din intuition? Analysera problemet noggrant och motivera din ståndpunkt. Om du kan programmera, kanske du kan stödja din slutsats med resultatet från ett program som upprepat detta slumpförsök många gånger.

Jag tänkte givetvis att när dörr B öppnats så är det 50% att den är bakom dörr A och 50% bakom dörr C. Dörr B är ju inte längre ett alternativ i spelet, den är redan öppnad.

Facit säger såhär:
"Du bör byta!
Om du inte byter är din sannolikhet att få bilen 1/3.
Om du byter så får du bilen om den är bakom någon av de båda dörrar du inte valt.
Din sannolikhet är då 2/3 att få bilen. Se även träddiagrammet.

[träddiagram, typ:
Val 1: (a) 1/3 Bil,(b) 2/3 inte Bil
Val 2: (aa) 1 Står kvar vinner, 0 (ab) byter vinner, (ba) 0 står kvar vinner, (bb) 1 byter vinner]

Under finns uträkningen:
P(byta och vinna) = 1/3*0+2/3*1 = 2/3

Jag förstår inte hur detta går ihop. Någon som kan förklara?

Det finns två möjligheter: -a^-n och (-a)^-n
Det förra kan skrivas som -(a^-n) och är alltså lika med -(1/a^n); i det senare fallet kan man till exempel införa b = -a, erhålla b^-n, använda regeln för att få 1/(b^n) och slutligen byta tillbaka till 1/(-a)^n.

Mycket intressant, fick inte ihop det förens jag skrev upp alla scenarion och jämförde själv:

B - G - G <- Scenario 1
G - B - G <- Scenario 2
G - G - B <- Scenario 3

A   B   C

Scenario 1:
Spelare väljer Bil, spelledare visar Get, byte ger förlust
Spelare väljer Bil, spelledare visar Get, byte ger förlust

Spelare väljer Get, spelledare visar Get, byte ger vinst

Spelare väljer Get, spelledare visar Get, byte ger vinst

Scenario 2:
Spelare väljer Get, spelledare visar Get, byte ger vinst

Spelare väljer Bil, spelledare visar Get, byte ger förlust
Spelare väljer Bil, spelledare visar Get, byte ger förlust

Spelare väljer Get, spelledare visar Get, byte ger vinst

Scenario 3:
Spelare väljer Get, spelledare visar Get, byte ger vinst

Spelare väljer Get, spelledare visar Get, byte ger vinst

Spelare väljer Bil, spelledare visar Get, byte ger förlust
Spelare väljer Bil, spelledare visar Get, byte ger förlust

Det har fått mig lite intresserad av att faktiskt prova olika lösningar!

Skulle det gå att förklara som såhär:
Anledningen till att det är fördelaktigt att byta är för att spelledaren i alla fall utom det där spelaren valt bilen bara har En möjlig dörr att öppna. Detta sker i två tredjedelar av spelen. I dessa fall vinner spelaren genom att byta. Om spelaren faktiskt valt bilen så finns det två möjliga dörrar, men enbart det ena scenariot kommer att utspelas. Därför vinner spelaren i 2/3 av fallen på att byta dörr medan det fortfarande enbart är 1/3 chans att spelaren valt rätt från början.

Jag hittade sedan förklaringen i wikipedia som jag missade:
Som synes är det bara om man valde rätt dörr till att börja med som det kan bli fel om man byter. Då det är 1/3 chans att man valde rätt dörr från början blir det också bara 1/3 chans att man förlorar om man byter, och således 2/3 chans att bytet ger vinst.

Den var mycket tydligare, men nu när jag ändå har skrivit min variant så får den vara kvar. Vem vet, i framtiden kanske någon förvirrad stackare googlar fram just den förklaringen!