Mattematikproblem

tss har en liknande uppgift i en matta bok dock är det inte en hink skit utan något annat..

dock så ökar ju din chans för att vinna då det är 50/ 50 ett fel och ett rätt dock så skulle jag hållt kvar vid dörr ett för att programledaren vet ju vad som döljs bakom dörrarna och så vill den för allt i värden få över dig till icke vinst dörren.. och därefter öppnas vinstdörren och programledaren har vilselet dig med att är du säker? osv.. ta den börr du valt från börja..

edit: det går ju slänga ihop något slumpgenerator som antagligen dörr 1 eller 2 är vinst i dock så bör det ju alltid vara 50 / 50 % att man vinner fast när man väll öppnat en av de 2 dörrarna så har man antagligen 100% vinst eller 100% icke vinst

Alltså det blir ju lite skevt, men jag håller med om att man borde ha lika stor chans om man håller kvar vid sitt första val. Det stämmer även rent matematiskt om man istället för att bara behålla sitt val faktiskt väljer samma dörr igen. Då har man 1/3 chans när man väljer dörren första gången, andra gången man väljer samma dörr har man 1/2 chans. Iallafall är det vad jag kommit fram till, jag är visserligen inte så jätteduktig på matematik.

Det här problemet är ett rätt vanligt disskussionsämne, det finns ett namn för det: The Monty Hall Problem döpt efter programledaren för just det tv-program du pratar om.

När du väljer dörr från första gången, då är det 1/3 att du tar rätt dörr.
Dvs det är 2/3 att priset är bakom en av de andra dörrarna. (Se dessa 2 som ett)
När sedan tävlingsledaren öppnar en av dessa och visar att den är fel, är det ju fortfarande 1/3 att du valde rätt dörr från början, och att det är 2/3 chans att den ligger bakom nån av de andra 2 dörrarna.
Eftersom en av dessa har visat sig felaktiga så vet vi att det är 2/3 chans att den ligger bakom den andra dörren, så man ska dvs byta..

Jag hävdar iallafall att chansen ändras när man öppnat den felaktiga dörren.

Tänk dig att det finns en miljon dörrar istället för tre.
Chansen att bilen finns i dörren du väljer först är en på miljonen.
Nu öppnar programledaren 999 998 dörrar utan vinst.

Byter du nu?
Jag tycker det känns självklart att byta.

Jag har för mig tidningen ny teknik hade sådant här i tidningen för länge sen, men såklart var det personer som inte förstod och en lång debatt uppkom (jag läste inte detta själv så kan ju vara fel detaljer). Det hade tydligen slutat med att någon professor i sannorlikhetsteori hade fått utreda det.

Och det är som head beskriver, man ska byta dörr.

jag skulle sommnat innan de öppnat 999 998 dörrar

Good point.

Programledaren har väl ingen möjlighet att påverka något?

Om det ser ut såhär:

Dörr 1: Bil
Dörr 2: Get
Dörr 3: Get

Väljer du först dörr 1 öppnar programledaren antingen dörr 2 eller 3 och du förlorar om du byter.

Väljer du först dörr 2 öppnar programledaren dörr 3 och du vinner om du byter.

Väljer du först dörr 3 öppnar programledaren dörr 2 och du vinner om du byter.

Alltså är sannolikheten att vinna 2/3 om du byter.

#!/usr/bin/perl

use strict;
use warnings;

my $keep = 0;
my $change = 0;

for(1..1000000){
        my $correct_door = int rand 3;
        my $chosen_door = int rand 3;
        my $opened_door = int rand 3;

        $opened_door = int rand 3 until $opened_door != $correct_door && $opened_door != $chosen_door;
        if($chosen_door == $correct_door){
                $keep++;
        }else{
                $change++;
        }
}

print "Keep: $keep ", 100*($keep/($keep+$change)), "%\nChange: $change ", 100*($change/($keep+$change)), "%\n";

Resultatet stämmer mycket bra med de teoretiska beräkningarna.

Keep: 332529 33.2529%
Change: 667471 66.7471%

Det där var en fin fin förklaring. Den förstår nog de flesta.

Vad som kanske är ännu konstigare är att man faktiskt bara har 1/3 chans att vinna om man INTE byter dörr. Det känns som om man åtminstone borde ha 50% chans att vinna då.

Lysande jämförelse!

Man får se problemet från utgångsläget och inte från det läget när man valt en dörr redan...

Väljer man en dörr och stannar vid den dörren så vinner man enbart om man valde rätt dörr från början (1/3 chans). Väljer man däremot att byta dör kommer man att vinna oavsett vilken av de två felaktiga dörrarna man valde från början alltså 2/3 chans...

Har inte stött på den här frågeställningen tidigare, intressant.

Chimaira har den klockrena förklaringen. Eftersom det bara är 3 dörrar är det inte svårt att sätta upp det och se (som han/hon gjorde).

Och detta med att "man borde ha 50% chans om man inte byter" kanske låter rimligt i den första tanken men är väldigt orimligt. Man kan inte påverka en vinstchans i efterhand om man behåller sin dörr. "Öppnaren" vet ju också vilken som är fel dörr, så du kan ju till och med kolla bort när han öppnar. Om du inte kommer byta kan du ju säga åt honom att inte öppna en av de två andra alls, du vet ju att den är tom.

Hittade en paradox med liknade upplägg men som jag antar är lite svårare att lösa. Kallas The Two-Envelope Paradox och går ut på att du likt förra blir tilldelat ett pris på en tv-show. Programledare lägger ut två kuvert framför dig och ber dig välja ett. Han säger inte hur mycket det är i något av kuverten men talar om att i det ena ligger det dubbelt så mycket som i det andra. Du väljer ett av kuverten, öppnar det och ser att det ligger 1000 kr där. Programledaren frågar dig nu "Du får antingen behålla dom 1000 kr eller ta det som finns i det andra kuvertet". Vad borde man göra?

Synsätt 1:
I det andra kuvertet är det antingen dubbelt så mycket eller hälften så lite; alltså 500 kr eller 2000 kr. Rimligen är sannolikheten för att någon av detta skulle vara fallet lika stor (mao 50%). Alltså om man byter så kommer man i genomsnitt få 0.5*2000+0.5*500 = 1250 kr, man bör därför byta.

Med andra ord: Låt n vara mängden pengar i första kurvertet man väljer, då är det 0.5 chans att det är 2n pengar i andra och 0.5 risk att det är n/2 i det andra. Alltså om man byter kommer man i genomsnitt få 2n*0.5+n/2*0.5 = 5n/4 "pengar" om man byter och då det är större än n så bör man byta.

Synsätt 2:
Låt nu n1 vara pengarna i det kuvert med mest pengar och n2 var det med minst pengar. Differansen (n1-n2) mellan dem är d. Ponera nu att du valde n1 först och man byter, så kommer du förlora d pengar. Åandrasidan om du råkade välja den med minst (n2) och byter så tjänar du d pengar. Då sannolikheten för att du valde n1 eller n2 i början är lika stor (50%) så kommer den genomsnittliga förändringen vara: 0.5*d - 0.5*d = 0. Alltså spelar det ingen roll vad man väljer.

Ska man byta eller inte?

(Man kan ju hävda att man enligt synsätt 2 kommer fram till att det inte spelar någon roll vad man väljer, genomsnittet kommer alltid vara samma, alltså vore det rationellt att byta även om man tror att synsätt 2 är rätt eftersom man kan ha fel och det då är synsätt 1 som är rätt.. Detta kan man komma tillrätta med genom att säga att man måste betala en liten summa (typ 5 kr) för att byta, enligt synsätt 1 skulle man då tjäna i genomsnitt 245 kr på byta medan synsätt 2 skulle säga att man i genomsnitt skulle förlora 5 kr, och då skulle de ge tvetydliga svar)

Edit: Man behöver inte vara något geni för att fatta att synsätt 2 är det som är analogt med verkligheten, antar att någon som orkar kan visa det empiriskt genom att skriva ett lite program som simulerar detta... Man kan även bevisa det "filosofiskt" vilket är lite roligare. Ponera att ni är två personer en som vann och en som kom tvåa, den som vann får välja och tvåan får kuvertet som är kvar. Ni båda kollar i erat eget kuvert men inte i den andres och ni ställs då inför frågan om ni vill byta med varandra och enligt synsätt 1 skulle det vara rationellt att göra det för båda skulle tjäna på det i genomsnitt, vilket innebär att summan av pengar i båda kuverten växer iom bytet vilket knappast kan ses som troligt.

Före bytet:
Kille 1: x
Kille 2: y
Totalt: x+y

Efter bytet:
Kille 1: 0.5*2x + 0.5*x/2 = 5x/4
Kille 2: 0.5*2y + 0.5*y/2 = 5y/4
Totalt: (5x+5y)/4

alltså har mängden pengar ökat från x+y till (5x+5y)/4 genom bytet...

Det är alltså inte det som är svårt i paradoxen, problemet är att visa vad i synsätt 1 som är fel, resonemanget tyck ju vara helt rationellt och inte ha några fel...

Har det verkligen någon betydelse om programledaren tar bort en dörr med skit före eller efter man har valt?
Svar: Absolut inte.
Och om han tar bort en dörr med skit? Hur stor chans har man då om man har en dörr med skit och en dörr med en bil bakom??
Då kan man ju lika bra ångra sig innan man väljer dörr och då kanske man skulle ha större chans? Sure, men sen är där förstås lagen om all jävlighet...

Sen glömde Chimaira en rad eller rättare sagt satte ihop två rader till en

Om det ser ut såhär:

Dörr 1: Bil
Dörr 2: Get
Dörr 3: Get

Väljer du först dörr 1 öppnar programledaren dörr 2 och du förlorar om du byter.

Väljer du först dörr 1 öppnar programledaren dörr 3 och du förlorar om du byter.

Väljer du först dörr 2 öppnar programledaren dörr 3 och du vinner om du byter.

Väljer du först dörr 3 öppnar programledaren dörr 2 och du vinner om du byter.

Du har 3 dörrar men då du vet att en felaktig åker bort och att du dessutom
kan byta så är det bara 2 dörrar i spelet, den du väljer och den programledaren
inte väljer.

Du har alltså alltid 1/2 att välja rätt, antingen väljer du den med bilen i
eller den som programledaren inte tar bort.

Bilen är alltid i den du pekar på eller den programväljaren inte tar bort
det ger 1/2.

Där står du i ditt byta mellan 2 dörrar, bilen är i den ena, det vet du.
Det är skit i den andra, det vet du också.

Du har 2 alternativ, stanna eller byta...

2,2,2,2,2,2...

på 2 val där det ena är rätt så är chansen 50%.

Felet folk gör är att dom tror valet står mellan 3 dörrar och att man har 1/3

Dina två första rader är ju samma händelse, de skall vara en rad precis som Chimaira skrev. Eftersom programledaren inte chansar när han öppnar dörren (han vet var bilen respektive getterna finns) så verkar inte slumpen då. Det är alltså ingen tillfällighet att han öppnar en dörr med en get bakom. Om det sedan är get1 eller get2 kan ju kvitta.

Du tjänar helt klart på att byta, eftersom du från början hade 1/3 chans att ta rätt dörr och 2/3 chans att det var en av dörrarna du inte tog. Bara för att programledaren öppnar en dörr så förändras ju inte detta faktum.

Vill passa på att ställa en fråga till de lite mer matematiskt kunniga här:
Om Programledaren hade chansat (dvs han vet inte var bilen och getterna finns) och får upp en get, är det fortfarande bättre att byta då?
Logiken säger mig att man fortfarande bör byta, men är det verkligen så?

Självklart är det rationellt att byta även då...

Dom gångerna det skulle vara dåligt att byta är ju dom gångerna då programledaren drar upp en dörr med en bil i... vilket minst sagt skulle ta spänningen ur resten av tävlingen :). Så alla de fallen då programledaren drar upp en dörr med en bil försvinner från övervägandet (du behöver ju knappast överväga ett byte om du får en get oavsett) och i de andra fallen då programledaren drar upp en dörr med en get så är du i samma situation som tidigare, alltså förändra chansen från 33,3% till 50%...

(självklart minskar programledarens slumpmässighet din chans att få en bil från ursprungsperspektivet innan du har valt första dörren (och egentligen ända tills programledaren drar upp dörren) dock påverkar det inte din valsituation i den mån du hamnar i en sådan)

Edit: För dom som är intresserade så är det 33,3% risk att programledarens dörr innehåller bilen och då följdaktligen 66,6% chans att det är en get. Så i en tredjedel av gångerna kommer man aldrig ha möjlighet att välja...

Edit 2: (självklart) hade jag fel...
om programledaren tar en dörr på måfå så kommer det i 1/3 av fallen leda till att han öppnar dörren med bilen och spelet är slut, 1/3 av fallen vara så att det vore bäst att byta dörr och i 1/3 av fallen vara bäst att stå kvar... Alltså spelar det ingen roll om man byter eller inte... Detta kan man visa i ett litet schema

När du väljer dörr först finns det 3 möjligheter, bil, get eller get alla har lika stor sannolikhet alltså är det:
a: 1/3 sannolikhet att du prickar in bilen
b: 1/3 sannolikhet att du väljer get
c: 1/3 sannolikhet att du väljer get

Sedan är det programledaren som ska slumpmässigt välja en dörr som du inte valt alltså:
Om du valde a:
a1: 1/2 sannolikhet att det är en get som programledaren väljer
a2: 1/2 sannolikhet att det är en get som programledaren väljer

Om du valde b:
b1: 1/2 sannolikhet att det är en bil som programledaren väljer
b2: 1/2 sannolikhet att det är en get som programledaren väljer

Om du valde c:
c1: 1/2 sannolikhet att det är en bil som programledaren väljer
c2: 1/2 sannolikhet att det är en get som programledaren väljer

Alternativ b1 och c1 (med en sannolikhet på 1/2*1/3+1/2*1/3 = 1/3) innebär att spelet är slut och du slutar med en get oavsett om du byter dörr eller inte.

Alternativ a1 och a2 innebär att du valde dörren med bilen först och skulle få en get om du böt, alltså bör du inte byta. Sannolikheten att detta alternativ kommer upp är också 1/3 (1/2*1/3+1/2*1/3).

Alternativ b2 och c2 innebär att du valt en get först och programledaren öppnat en dörr med en get alltså är det fördelaktigt att byta, likt övriga alternativ är sannolikheten för detta 1/3.

Så oavsett vad du gör kommer du 2/3 av gångerna få en get och 1/3 av gångerna få en bil...

Men dock förstår jag inte att de två första raderna är samma händelse, det finns väl fyra alternativa händelser om man valt dörr och sen byter dörr:

programledaren öppnar dörr 2 när du valt dörr 1 - loser
programledaren öppnar dörr 3 när du valt dörr 1 - loser
programledaren öppnar dörr 3 när du valt dörr 2 - winner
programledaren öppnar dörr 2 när du valt dörr 3 - winner

Om man inte byter dörr finns också fyra händelser

programledaren öppnar dörr 2 när du valt dörr 1 - winner
programledaren öppnar dörr 3 när du valt dörr 1 - winner
programledaren öppnar dörr 3 när du valt dörr 2 - loser
programledaren öppnar dörr 2 när du valt dörr 3 - loser

eller har jag missat nått?

Edit:
och för att svara på din fråga, så ökar han sin chanser från 1/3 till 1/2 om p-ledaren väljer en get, väljer p-ledaren bilen så har han gått från 1/3 chans till 0.

Programledaren tar ALLTID en get/skit

Därför vet du att valet är mellan 2 dörrar, den du nu väljer
och den programledaren inte väljer

savje, mkt intressant problem
Var tvungen att skriva ett litet testprogram som testade (så liten spoiler följer):

>>> for x in range(1000): a.append(random.randint(1,1000) )
...
>>> a = []
>>> for x in range(100000): a.append(random.randint(1,1000) )
...
>>> b = []
>>> for x in a: b.append((x, 2*x))
...
>>>
>>> tot1, tot2 = 0,0
>>>
>>>
>>> for x in b:
...    y  = random.randint(0,1)
...    tot1 += x[y]
...    tot2 += x[1-y]
...
>>> tot1, tot2
(75034015, 74761007)
>>> tot1
75034015
>>> tot2
74761007

Det spelar alltså inte nån större roll om man byter eller ej. Men ifall jag dummat mig och lagt in en bugg/tänkt fel nånstans får ni gärna påpeka det.