Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Stöd för riktig matte hade gjort mig väldigt lycklig. Jag har saknat det på fler ställen men jag skriver i och för sig fler uträkningar och annat ingenjörstrams än gemene forummedlem. Om det känns bättre så kan jag erbjuda mig att använda det minst en gång vart tionde inlägg av ren princip. Så det kommer till användning.

Häst                            Sannolikhet för vinst
Rigel                                       0,10
Aldebaran                                0,25
Casiopeja                                 0,15
Sweet Sue                              0,30
Pollux                                     0,20

Med "P(A)"-formlerna antar jag att du menar hur man motiverar det matematiskt.

Benämn händelsen att en viss häst vinner med hästnamnets begynnelsebokstav, dvs C, S, R, A, förutom Pollux som börjar på den i sammanhanget osmidiga bokstaven P, så Pollux får heta X. Ett sätt att betrakta problemet inom det ursprungliga utfallsrummet Ω = {C, S, R, A, X} är att hitta sannolikheten för att Pollux vinner, givet att Casiopeja och Sweet Sue inte gör det; då söker vi alltså följande betingade sannolikhet:
   

Du har säkert beviset och formeln för hur man räknar betingad sannolikhet i dina häften. Du kan använda att alla utfall är disjunkta händelser för att förenkla saker.

Nej, detta är inget vettigt; siffran 6 % (alla med mexitegel) innefattar ju de 4 % (mexitegel och garage) som du försöker addera, och förhållandet är inte så lätt som "+" eller "−". Börja med att definiera vad du menar med händelsen A här, och för den delen B. Om du kan uttrycka vad dessa saker betyder så kommer du kunna se om du är ute och cyklar.

Ditt A är luddigt definierat, och ditt B verkar vara definierat som "{inte mexitegel} ∩ {inte garage}". Vad säger då egentligen ditt P(A | B)? Det är inte bara att kalla något för A, något för B och sedan köra på, utan du måste ha kontroll på vad sakerna betyder, och definiera dem på ett vettigt sätt.

Att döma av de uppgifter du frågar om så antar jag att du har det häfte jag länkade ovan. Detta är ett problem som lämpar sig väl för det som författaren kallar "fyrfältstabell" i kapitel 5. Fotbollsfrågan var en första övning på detta — förstår du den, så förstår du även denna.

Tanken är att du kan beskriva en linjär transformation av en viss vektor som en matrismultiplikation av en transformationsmatris med denna vektor. Transformationen ("avbildningen", "bilden") av vektorn x under transformationen T som beskrivs av transformationsmatrisen A ges utav matrismultiplikationen A x. Det är inte ovanligt att se matrisen i sig benämnas "transformationen" då det ofta ändå är klart vad som menas.

Tittar man på dimensionerna i din uppgift så ser man att transformationen tar en vektor i ℝ² på formen [a; b], dvs en 2⨯1-vektor, och ger tillbaka en ny 2⨯1-vektor. För att A x ska vara definierad så måste de "inre dimensionerna" av A och x stämma, dvs A ska ha 2 kolumner eftersom x har 2 rader. För att ge en 2⨯1-vektor så måste de "yttre dimensionerna" vara just 2⨯1, vilket ger att A måste ha 2 rader — alltså är A en 2⨯2-matris. Detta kommer givetvis "automatiskt" när man konstruerar A korrekt, men det kan vara bra att notera hur dimensionerna hela tiden hänger ihop.

Ett sätt att direkt konstruera en transformationsmatris är att låta varje kolumn bestå av transformationen av motsvarande basvektor (detta blir väldigt logiskt om man jämför med hur matrismultiplikation definieras). I uppgiften så har de varit snälla och direkt visat hur dina basvektorer transformerar, så om du utifrån deras information skapar transformationsmatrisen:
   A = [0, 4; −3, −5]
så kan du alltså bestämma avbilden av x = [3; 2] under transformationen genom att beräkna
   A x

Uppgiften är att jag ska bestämma största och minsta värde till en funktion på en triangelskiva med hörn i [-1, 0], [0, 1], [-2, 2].

Jag vet hur man gör med funktionen, jag vet hur man räknar ut svaret, men jag vet INTE hur man ställer upp en funktion som beskriver triangelskivan. Kan någon hjälpa mig med detta?

Det är en analyskurs, flervariabel.
Jag vet hur man gör detta. Däremot behöver man ett funktionsuttryck för ytan man ska undersöka i den metoden jag brukar använda. Har läst hur man ställer upp en funktion för en yta i någon tidigare kurs, men har helt enkelt glömt detta.

Som mounte sa: du ska undersöka din (antaget kontinuerliga) funktion och se om/var den har lokala extrempunkter. Om någon av dessa punkter är inuti din triangel så beräkna funktionens värde här. Utöver detta ska du undersöka din funktion på hela randen till området, dvs längs de linjer som definierar din triangel.

Du behöver alltså inte något "funktionsuttryck för ytan", utan snarare en parametrisering av ränderna, så att du kan söka efter extremvärden av din funktion just längs dessa (vilket i praktiken blir tre endimensionella optimeringsproblem; glöm inte ändpunkterna).

När du gjort detta så kommer du ha en lista på funktionsvärden på eventuella lokala inre extrempunkter, samt tre respektive maximum på ränderna. Det största av dessa värden är ditt maximum på din kompakta mängd.

Har 3 uppgifter jag behöver ha hjälp med, säkert lättare än vad jag tror

Derivera

2. 1/e^t+4

3. 1/(e^2x-2)

MvH Tommie

Edit; löste första själv,dom andra kvar

Precis, men hur gör jag då det är delat?

Vad har du försökt med? Var fastnar du?

Tänk på parenteserna! exemplet räknar med 2 ^(-0,0331X) medan du räknar med 2 ^(-0,0331)*X. Alltså när du slår in det räknas inte x med som exponent. Jag använder alltid parentes när jag upphöjer saker eftersom miniräknare generellt bara tar första talet och det är inte alltid uppenbart var de klipper.

Det är ett bra tips för framtiden. Om miniräknaren verkar ge fel svar så beror det ofta på en av två saker. Du har skrivit in fel eller så har du missat en parentes.

Ja, det ser rätt ut. Jag kör en liten utläggning om induktionsbevis, så som jag minns det från när jag tittade på det senast.

Steg 1 för dig kan än hellre vara n = 0, då det blir trivialt sant: 0³ + 2 ⋅ 0 = 0, 0 ∕ 3 = 0 ∈ ℤ, OK. Då får du ett extra n för vilket ditt påstående gäller, men ja, det du gör är ju rätt.

Steg 2 kan man skriva "Anta att k³ + 2 k är delbart med 3 för något k ∈ ℤ".

Steg 3 är då att visa att det även gäller för k + 1, och då sätter man som du gör in k + 1 och får:
   (k + 1)³ + 2 (k + 1) = k³ + 3 k² + 3 k + 1 + 2 k + 2 = (k³ + 2 k) + 3 (k + 1)
Första parantesen är delbar med 3 enligt steg 2. Andra termen är delbar med tre då parantesen innehåller ett heltal: alltså har vi visat steg 3, vilket du också gör.

Nu skulle man bara kunna skriva "Enligt induktionsaxiomet följer påståendet", och vara klar.

Steg 1 förankrar påståendet i ett visst k, vilket gör att vi vet att det finns något k för vilket steg 2 stämmer, så det är inte helt galet att skriva som vi gör där. Detta steg känns ofta lite olustigt första gångerna man ser det, för det känns lite som att man "fuskar" och skriver något som man ännu inte bevisat, men om man tittar på vad man säger så gör man faktiskt inte det. För förståelse så kanske det är enklare att få kläm på konceptet om man tänker på stegen i ordningen 2→3→1, men om man inte kan hitta en lösning för steg 1 så kan man ju å andra sidan direkt strunta i övriga steg, så tja.

Det är alltså fortfarande en osäkerhet gällande uppgiftens allmänna påstående i steg 2, eftersom vi ju faktiskt bara vet ett fall där det stämmer, så här är man fortfarande ute på farligt vatten. Dock räddar man situationen i steg 3, då man visar att om påståendet stämmer för något k så stämmer det även för k + 1: och eftersom vi har förankrat metoden genom att vi vet att det gäller för k = 0, så ger steg 3 att det alltså även gäller för k = 1. Och då ger steg 3 att det även gäller för k = 2. Och då ger steg 3 att det även gäller för k = 3, osv, och inget heltal "kommer undan". Det är också trivialt utvidgbart till negativa heltal här, om man är intresserad av detta.

Metoden verkar du ha klart för dig, så det är bara att börja. En diagonal är en linje mellan två icke intilliggande hörn i en månghörning. Förankra med exempelvis n = 4: a(4) = 4 (4 − 3) ∕ 2 = 2, OK (formeln stämmer även för n = 3, men det finns en liten fint här gällande det generella sambandet, så börja hellre på 4).

Steg 2: anta att det gäller för en viss k-hörning. Vad händer i en "k + 1"-hörning? Jo, alla tidigare diagonaler är kvar. Det tillkommer dock diagonaler från det nya hörnet till alla andra hörn (k stycken), förutom dess närmsta två grannar (per definition av "diagonal"). Låt D(k) beteckna antalet diagonaler i en k-hörning. Alltså:
   D(k + 1) = D(k) + k − 2
               = [Steg 2] = k (k − 3) ∕ 2 + k − 2
               = [Skriv på gemensamt bråkstreck, räkna själv] = (k + 1) (k + 1 − 3) ∕ 2
"Enligt induktionsaxiomet …" och vi är hemma.

a) Vad säger logaritmlagarna gällande summan av logaritmer? Använd detta och testa för exempelvis n = 1, n = 2, osv, förenkla så långt som möjligt tills du kan komma med en kvalificerad gissning på ett allmänt mönster. Testa sedan om denna gissning stämmer allmänt med hjälp av induktionsverktygslådan.

b) Samma sätt som i a): testa för n = 1, n = 2, osv, och förenkla de resulterande bråken så mycket som möjligt. Du lär se ett mönster. Försök sedan visa med induktion att det stämmer för alla n.

Rita två linjer och räkna hur många områden du får. Rita dit en till och se vad som händer. Upprepa tills du har exempelvis fem linjer och titta på hur sambandet verkar se ut. Fundera på varför det ser ut så, tills du kan formulera det på ett övertygande sätt. Skriv upp formeln du hittat, och kör på med induktionsbeviset. Den går att förankra ända från n = 0, lustigt nog.

Ett enkelt exempel: om x = 1 så står det 2ⁿ till vänster, och 1 + n till höger: det ser inte så lovande ut, då exponentialfunktionen i VL kommer växa mycket snabbare än den linjära termen i HL. Har du skrivit av uppgiften rätt?

Tillägg: Knappt två år senare ser jag att "=>" uppenbarligen betyder "≥" och inget annat (för övrigt exakt samma tolkningsproblem jag hade i detta inlägg ). Med denna mer korrekta tolkning så är det inget konstigt med uppgiften: bara att brassa på med induktionsbevis enligt genomgången ovan.

Gjort.

Använd att xⁿ⁺¹ = x xⁿ och kedjeregeln.

a) Förankra för två stycken n; med fördel n = 1 och n = 2. Då kan du i steg 2 anta att det gäller för k och k − 1 för något k, varpå du efter listig faktorisering kan visa att det då även gäller för k + 1, och sedan är det bara "Enligt induktionsaxiomet …".

Det "listiga" i steg 2 kommer av att helt enkelt veta vad du är ute efter: börja med att bryta ut faktorn (aᵏ − bᵏ) och se vad du får kvar när du "balanserar" detta.

b) Samma metod som i a). Du kan nästan "börja" med steg 2 för att se vilken extra förankring du behöver för att visa påståendet.

*Flyttat till mattetråden*

Skriv vad du har försökt med och vad du inte förstår för respektive uppgift.

Jag hade aldrig hört termen innan, men det verkar bara betyda att lösa en andragradsekvation genom att låta högerledet vara 0 och dela upp vänsterledet i två faktorer. "När kan du …" är en slarvig fråga, eftersom algebrans fundamentalsats säger att man alltid "kan" göra detta för en andragradsekvation, men jag gissar på att de snarare är ute efter de fall då det är "extra enkelt" att göra detta, vilket står beskrivet i länken.

Ja, den linjen har lutningen −2. Begreppet jag antar att ni ska lära er är "derivata", och de frågar alltså efter en linjär funktion vars derivata är −2. Deriverar vi ditt y så får vi just detta, genom regeln för att derivera polynom.

Ja, skärningspunkten sker där x = 0, vilket ger y = 4.

Med "symmetrilinje" så menar de en linje som skulle kunna fungera som en "spegel" för att ge hela linjen. För en andragradskurva så blir det i praktiken en lodrät linje genom "mitten" av kurvan. Det blir tydligt varför detta är en symmetrilinje när man ritar detta.

Med "vertex" så menar de den punkt där lutningen är 0.

Här har du ett exempel på en andragradskurva.

Ja, en konstant är det tänkta svaret. Lite märkligt formulerad fråga kan jag tycka, men men. Meningen är nog snarare att dessa frågor ska få er att resonera kring koncepten, så på sätt och vis är det bara bra om de lämnar lite öppningar för tankeverksamhet.

Börja med att flytta över så att x⁹ står ensamt på ena sidan. Hur ska du få x⁹ att bli bara x? Samma operation måste också göras på båda sidor för att ekvationen ska vara balanserad, och när det är gjort så har du svaret.

Då får du läsa på om logaritmer .

Om du tittar på avsnittet i din bok eller ditt material där ni introducerade derivatan så finns säkert exemplet där de visar att en ungefärlig lutning i ett intervall fås av att titta på x- och f(x)-värden i två punkter (x och x + h) och bilda kvoten
   [skillnad i y] ∕ [skillnad i x]
      = ( f(x + h)−f(x) ) ∕ ( (x + h) − x)
      = ( f(x + h)−f(x) ) ∕ h
och att om man låter h bli mindre och mindre, dvs "gå mot 0", så får man till slut derivatan. Från Derivative [Wikipedia]:

Bästa tipset är att läsa avsnitten i ditt läromaterial som redogör för derivatan.