Matematiktråden – få hjälp med dina matematikproblem här!

Hur var problemet formulerat?

Man skulle nog rent allmänt kunna säga att det man oftast arbetar med är integraler från ett mindre x till ett större x. Så från −2 till 0 är vanligare än från 0 till −2.

Standard är ju att gå i positiv riktning längs koordinataxlarna. Men visst, du kan ju gå åt andra hållet också men då får du som sagt ett negativt värde istället. Ibland kan det vara enklare att byta plats på gränsvärdena och gå åt andra hållet men kom då ihåg minustecknet.

Skriver en lösningsgång för att utveckla min förmåga att förklara och för att det är kul.

Det behövs en bild för att förstå något:

Vad vet vi? Jo, vi vet hur man uttrycker arean på en rektangel: basen gånger höjden. Basen i rektangeln är, som vi kan se på bilden, 2x och höjden är y. Vi vet också att arean på rektangeln ska vara 10 areaenheter. Därmed kan vi ställa upp följande ekvation:

2x · y = 10

(Notera att x alltså är halva basen i rektangeln.)

Vad vet vi mer? Jo, vi vet från frågeställningen att punkten (x, y) ligger på kurvan y = 1/x² + 4.

Den sistnämnda ekvationen låter oss ersätta y med 1/x² + 4, eftersom de är LIKA MED varandra; de är samma sak. Vi gör nu detta i vår ekvation för arean:

2x · y = 10
2x · (1/x² + 4) = 10
2x/x² + 2x · 4 = 10
2/x + 8x = 10

Multiplicera båda leden med x för att "få bort" divisionen med x:

2 + 8x² = 10x
2 + 8x² − 10x = 10x − 10x
2 + 8x² − 10x = 0
8x² − 10x + 2 = 0
x² − 10x/8 + 2/8 = 0
x² − (5/4)x + 1/4 = 0

PQ-formeln:

x = −(−5/4)/2 ± √(((−5/4)/2)² − 1/4)
x = (5/4)/2 ± √((−5/8)² − 1/4)
x = 5/8 ± √((−5)²/8² − 1/4)
x = 5/8 ± √(25/64 − 16/64)
x = 5/8 ± √(9/64)
x = 5/8 ± √9/√64
x = 5/8 ± 3/8

x₁ = 5/8 − 3/8 = 1/4
x₂ = 5/8 + 3/8 = 1

Det finns alltså två lösningar. (Kom nu ihåg att x är halva basen.) För x₁ gäller att

2x₁ · y₁ = 10
x₁ · y₁ = 5
y₁ = 5 / x₁
y₁ = 5 / (1/4) = 5 · 4 = 20

Dvs sidorna är 20 och 1/2.

För x₂ gäller likadant att

2x₂ · y₂ = 10
x₂ · y₂ = 5
y₂ = 5 / x₂
y₂ = 5 / 1 = 5

Dvs sidorna är 5 och 2.

Vilka av följande funktioner är inte definierade för x=o?

a) y=x^-2
b) y=4/x^-3
c) y=x^-7/3
d) y=3x^-5

Svaren är tydligen C och D. Men a är väl inte heller definierat? Skulle även behöva hjälp med hur man gör om dessa tal för att kunna se i en graf. T.ex. "x^-2" skriver man som "1/x^2"

Hittade bara en video om detta online också om jag sökte på "potensfunktioner med negativa exponenter".

OK, negativa exponenter. Some fine shit right there!

Det stämmer att likheten x^−a = 1 / x^a gäller. Men varför är det så? Hur kan vi förstå "någonting upphöjt till något negativt"? Vi observerar några potenser med positiva exponenter:

5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
5³ = 5 · 5 · 5 = 125
5² = 5 · 5 = 25
5¹ = 5

Vi ser att när vi ökar exponenten med 1 blir hela potensen 5 gånger så stor (eftersom basen är 5). När vi minskar exponenten med 1 blir hela potensen en femtedel så stor (dvs dess värde delas med 5).

Detta gäller även när vi "fortsätter neråt" på exponenten:

5⁰ = 5¹ / 5 = 1
5⁻¹ = 5⁰ / 5 = 1 / 5 = 1 / 5¹
5⁻² = 5⁻¹ / 5 = (1/5) / 5 = 1 / (5 · 5) = 1 / 5²
5⁻³ = 5⁻² / 5 = (1/5²) / 5 = 1 / (5² · 5) = 1 / 5³

Motsvarande gäller förstås oavsett vilken bas potensen har: Hade basen varit 3 istället för 5 hade en ökning av exponenten trefaldigat potensens värde medan en minskning hade delat värdet med 3.

Över till frågorna!

a) y = x⁻² = 1 / x²

Sätt x = 0:

y(0) = 1 / 0² = 1 / 0

Division med noll! Det vet vi inte vad det blir; 1 / 0 är odefinierat. Funktionen är alltså odefinierad för x = 0.

b) y = 4 / x⁻³ = 4 · (1 / x⁻³) = 4 · x³ = 4x³

y(0) = 4 · 0³ = 0

Inga problem.

c) y = x^−7/3 = 1 / x^7/3

y(0) = 1 / 0^7/3 = 1 / 0

Division med noll! Funktionen är odefinierad.

d) y = 3x⁻⁵ = 3 · (1 / x⁵) = 3 / x⁵

y(0) = 3 / 0⁵ = 3 / 0

Division med noll! Funktionen är odefinierad.

Skrev du fel i b uppgiften? Ska det inte bli 4*(1/x^3) istället för 4*(1/x^-3)?

Det ska väl inte vara minustecken?

Nej, det är faktiskt rätt.

Då förstår jag inte.. hur kan det bli så?

4 / x⁻³ = 4 · (1 / x⁻³)

Det är den likheten du undrar över?

Om jag skriver så här:

4 / a = 4 · (1 / a)

Köper du det? Ser du att det är samma slags omskrivning som ovan?

Men hur blir exponenten positiv?

Förklarade i början av det inlägget hur man ska tolka negativa exponenter. Gå tillbaka dit och läs om du är osäker.

4 / x⁻³ = 4 · (1 / x⁻³) = 4 · x³

I det första steget händer verkligen inget konstigt alls. Jag plockar bara ut fyran ur bråket:

Det är i det andra steget som det intressanta händer: Där skickar jag upp x⁻³ och då ändras tecknet i dess exponent.

Kanske har ett ännu bättre svar på din fråga nu när jag funderat lite. Om problemet till exempel lyder så:

f(x) = −2 − x

Integralen av f(x) från a till b är 2 (på matematiska: ∫ [a → b] f(x) dx = 2). Vilket av följande alternativ är korrekt?

a) a = −2, b = 0
b) a = 0, b = −2
c) a = 0, b = 2
d) a = 2, b = 0

Det mest straightforward man kan göra är väl att bruteforcea fram svaret genom att räkna ut nämnda integral för var och en av de fyra kombinationerna av a och b. Först tar vi fram den enklaste primitiva funktionen till f, eftersom vi behöver den när vi räknar ut integraler:

F(x) = −2x − x² / 2

a)
∫ [−2 → 0] f(x) dx = F(0) − F(−2)

Vi räknar ut F(0) och F(−2) enskilt för att lösningsgången ska bli enkel och lätt att följa:

F(0) = −2 · 0 − 0² / 2 = 0 − 0 = 0
F(−2) = −2 · (−2) − (−2)² / 2 = 4 − 2 = 2
∫ [−2 → 0] f(x) dx = 0 − 2 = −2

Vi fick att integralen är −2 när a = −2 och b = 0. Därmed kan a) inte vara rätt svar.

b)
∫ [0 → −2] f(x) dx = F(−2) − F(0)
F(−2) = −2 · (−2) − (−2)² / 2 = 4 − 2 = 2
F(0) = −2 · 0 − 0² / 2 = 0 − 0 = 0
∫ [0 → −2] f(x) dx = 2 − 0 = 2

Se där ja! Vi fick att integralen är 2 när a = 0 och b = −2. Rätt svar på frågan är alltså b). Vi fortsätter ändå med c) och d) för att lära oss:

c)
∫ [0 → 2] f(x) dx = F(2) − F(0)
F(2) = −2 · 2 − 2² / 2 = −4 − 2 = −6
F(0) = −2 · 0 − 0² / 2 = 0 − 0 = 0
∫ [0 → 2] f(x) dx = −6 − 0 = −6

Vi fick −6 när a = 0 och b = 2.

d)
∫ [2 → 0] f(x) dx = F(0) − F(2)
F(0) = −2 · 0 − 0² / 2 = 0 − 0 = 0
F(2) = −2 · 2 − 2² / 2 = −4 − 2 = −6
∫ [2 → 0] f(x) dx = 0 − (−6) = 6

Vi fick 6 när a = 2 och b = 0.

Notera nu integralens värde på a) och b) respektive c) och d). Omvänd ordning på a och b gav omvänt tecken på integralen, vilket i någon mån bekräftar "regeln" att integralens värde får omvänt tecken när vi går "från höger till vänster" jämfört med när vi går "från vänster till höger".

Notera även att det enda vi behövde göra för att se detta var att räkna ut integraler på det helt vanliga sättet:

∫ [a → b] f(x) dx = F(b) − F(a)

Kan du förtydliga frågan? Finns det någon bild? Skriv gärna av den exakta problemformuleringen.

Lite of topic men så fort jag känner mig smart så brukar jag kika på den här tråden och vips så är jag på jorden igen

Kan tyvärr inte dubbelintegraler, men tror att det behövs antingen fyra eller två (om man antar att sidorna är vertikala och horisontella) punkter för att definiera en rektangel.

Vet inte hur man gör, tyvärr.

Det blir de nog.

Är det inte en triangel då? Du har fått tre punkter.

Har du ritat upp punkterna i ett koordinatsystem? Var inte lat, för då kommer du aldrig klara dig. Rita upp området i VARJE uppgift du gör, det är ett måste. Sedan gör du så som Jonas Månsson visar, att du kollar först i x-led eller y-led beroende på vilken ordning det är lättast att integrera i. Den innersta integralen lär ha en variabel i någon av gränserna medan den yttre bara har siffror.

Men om vi nu förutsätter att det är en triangel du menar (vilket jag antar att det är eftersom du bara har tre punkter) så skulle gränserna i y-led kunna vara t.ex 0 till -x och gränserna i x-led -1 till 0. Hur kan jag veta detta? Jo, jag ritar upp triangeln (i detta enkla fall så räckte det för mig att visualisera den i huvudet). Vi vet att en av sidorna till triangeln är x-axeln och drar vi ett streck från den rakt uppåt (positiv y-led) så stöter vi på linjen y = -x. Alltså måste det vara den som är övre gränsen. Sedan vet vi att i x-led så är vi som längst vänster -1 och som längst till höger 0. Detta är då den yttre integralen (dx) och den ska därför inte ha någon variabel i gränserna. Den inre integralen (dy) har ju ett x i sina gränser.

Observera att om du integrerar med avseende på t.ex y så kan du inte ha y i gränserna och samma om du integrerar med avseende på x så kan du inte ha x i någon av gränserna till den integralen.

Hur kan jag tänka när jag visualiserar icke linjära funktioner? T.ex. en jobbig som 8/x+12/x^4?

Linjära funktioner är ju aslätt. Man ser att en timme arbete ger en viss lön. Två timmar ger dubbla lönen.

Men när jag kollar på dessa funktioner så blir grafen helt konstig och jag har svårt att verkligen förstå vad det är jag kollar på.

Jag tipsar med jämna mellanrum på forumet om Sommarmatte. Det täcker det mesta/allt av gymnasiematten och mer därtill om man väljer att titta vidare på kursmaterialet.

Här är ett exempelinlägg där jag skriver om kursen. Du måste givetvis inte gå den som "kurs", men materialet är fritt att ladda hem och går att köra på egen hand. Uppstår frågor finns bl a just denna tråd .

Det viktiga är väl att du kan tolka grafer i allmänhet, ty det fungerar likadant oavsett hur "svår" funktionen är: Varje x-värde i definitionsmängden ger exakt ett y-värde, som visualiseras som "hur högt ovanför sagda x-värde grafen befinner sig".

Om du utifrån vilken graf som helst kan utläsa rätt y-värde (med någorlunda precision) för godtyckligt x-värde samt plotta vilken funktion som helst (på ett ungefär) genom att sätta in några x-värden och rita ut motsvarande y-värden tycker jag att du kan det.

Det är även bra om man känner till hur vissa vanliga funktioner ser ut, till exempel att en andragradsfunktion y = ax² + bx + c ser ut som en "glad mun" om a är positivt och som en uppochnedvänd sådan om a är negativt.

Jepp Wolframalpha är ett otroligt bra hjälpmedel när man kört fast. http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x%5E2%2B2x-3

En trevlig metod för att se sådant är att kvadratkomplettera. I det här fallet får man
(x+1)^2 - 4,
där man, genom att inse att (x+1)^2 inte kan bli negativ, direkt ser att det minsta möjiga värdet är -4 och att det erhålles då x+1 = 0.