Matematiktråden – få hjälp med dina matematikproblem här!

Tack för tipsen !

Har ingen erfarenhet av Python alls dock, fast det kanske inte direkt behövs så mycket.

Om man misstäner att det finns något snyggt svar kan man förmodligen skriva om det på något listigt sätt. I det här fallet kan man till exempel använda

Vad har du försökt med? Vad är det du undrar över?

kom ihåg att ax + bx = x(a+b)

Med den regeln kan du lösa problemet

För er som älskar integralkalkyl sprang jag in i denna lilla goding som jag kontinuerligt går bet på:

Integrera sin^6 x dx

Hur skriver jag det med text btw? Int(sin^6 x) dx <--kanske?

Har testat mig runt litegrann med att göra om det till Integralen av (sin^2 x)^3 dx i hopp om att få någon nytta av sambandet sin^2x = (1-cos 2x)/2 men utrycket som då blir (om jag nu tänker rätt, trig är tyvärr inte min starka sida) känns inte mycket enklare då jag inte vet hur jag ska lösa integralen till (1-cos^3 2x)/8 heller med mindre än att slå upp den. Ska jag kanske trolla om cos 2x till 2sinxcosx (vilket jag vill minnas är formeln för dubbla vinkeln av cos?) eller dylikt?

Kollade upp svaret i facit och försökte derivera det med en kamrat för att se hur det föll ut baklänges så att säga men tyvärr blev jag/vi inte mycket klokare av det. Jag antar att det är något enkelt trick som ska till men hittar det tamejtusan inte

EDIT: det slog mig nu att ((1-cos x)/2)^3 inte alls är det jag skrev ovan... tänkte inte på att det var ett minustecken

Ska man göra det för hand så är det enklaste ofta att reducera exponenten mha trigonometriska formler, och hålla utkik efter inre derivator.

I detta fall:
   ∫ sin⁶x dx =
      [sin² x = ½(1 − cos 2x)] = ⅛ ∫ (1 − cos 2x)³ dx
      [binomialutveckling] = ⅛ ∫ 1 − 3 cos 2x + 3 cos² 2x − cos³ 2x dx
Integranden av en summa är summan av integranderna. De första två termerna i integranden är triviala. Den tredje termen blir trivial genom cos² x = ½ (1 + cos 2x). För den sista kan man antingen fortsätta reducera och utveckla, eller ta en genväg genom att utnyttja en smart substitution:
   cos³ 2x = [trigonometriska ettan] = (1 − sin² 2x) cos 2x
Detta uttryck är trevligt, för första termen efter utveckling blir bara cos 2x, och i den andra termen så identifierar man cos 2x som en inre derivata, och alltså
   ∫ sin² 2x cos 2x dx = ⅙ sin³ x + C
Det var alla termer; bara att summera, använda fler reduktionsformler om man så önskar för att få en mer samlad form, och minnas integrationskonstanten. Inget steg är "svårt", men det kräver att man är noggrann och kontinuerligt kontrollerar att man skriver rätt.

Notera att svaret går att skriva på många olika former, så även om ditt facit inte svarar exakt som du gör, så kan det likväl vara samma uttryck. Wolfram Alpha är bra på att kontrollera sådant.

Först kan man notera att du har två obekanta, men bara en (linjär) ekvation, vilket inte ger en entydig lösning. Du kan testa med att sätta in vilket x du vill (t ex C, vilket motsvarar att lägga till ytterligare en ekvation: x = C, vilket ger sammanlagt två obekanta och två (linjära) ekvationer), och du får då ett entydigt y. Funktionen är alltså i sin nuvarande form lösbar för alla x. Vad du ska göra är att använda kravet på heltalslösningar för att bestämma en familj med lösningar, dvs specifika värden där både x och y råkar vara heltal.

Jag hade instinktivt börjat med att skriva y ensamt i vänsterledet:
   y = (5x + 13) ∕ 3
Du vill ha heltalslösningar för både x och y. Eftersom vänsterledet ovan alltså då är ett heltal så måste högerledet också vara det.

Skriv högerledet som
   (5x + 13) ∕ 3 = ((5x + 1) + 12) ∕ 3
Eftersom andra termen i täljaren är en jämn multipel av 3 vilket ger ett heltal kombinerat med nämnaren så är det bara den första termen kvar att fixa till. När är 5x + 1 en jämn multipel av 3? Jo, t ex när
   x = 3n + 1
där n är ett heltal. Notera att första termen 3n alltid är delbar med 3 oavsett heltalsfaktor, och att den andra termen kombinerar med multipeln 5 för att summeras med den återstående termen 1 ovan till 6, vilket också är delbart med 3.

Olika n ger alltså en familj av heltalslösningar x, vilka i sin tur bestämmer motsvarande heltalslösningar y.

Vi kan testa med t ex n = 6:
   x = 3⋅6 + 1 = 19
   y = (5⋅19 + 13) ∕ 3 = 36
och nog rackarns blev både x och y heltal, och den ursprungliga ekvationen ger:
   36 − 13 = 5⋅19 − 2⋅36
   ⇒ 23 = 23
vilket sannerligen stämmer.

(Det går att välja annan numrering än just den form jag valde utan att det är fel; t ex x = 3m + 7 skulle också lösa problemet, där m skiftats två steg jfr m mitt n. Om du fått svaret på en annan form så kan den mycket väl också vara rätt.)

r→s säger ju att om r är sann så är s sann, så om s inte är sann kan inte heller r vara det. Och om r är falsk följer ju att ¬r är sann. Och om man köper det säger
¬r→p
att p är sann.

Håller på med lite basbyten i linjär algebra, och har fastnat på en uppgift.

Om man har en vektor V=(x,y,z) (given) i basen u (given). Om man ska skriva denna på standardbasen e, hur gör man då?
Jag vet att om man ska föra över från en bas till en annan (icke-standardbas) så tar man inversen på den nya basen * vektorn * vektorns bas. Men nu blir ju inversen samma i.o.m. e^-1 = e, samt att e*vektorns bas blir vektorns bas. Går det då bara att skriva att den nya vektorn i standardbasen = vektorn*vektorns bas (dvs. V*u)? Eller ska man göra på något annat sätt?

Hoppas att det gick att förstå

Om du löser det med kvadratkomplettering borde du väl redan veta svaret? Anyhow bär du kolla hur det löses på formen ax^2 + bx + c = 0 så får du svaret.

Wikipedia har en härledning här: http://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation

Se ett av mina tidigare svar i tråden. Du får översätta "doftkula" till "klotformade magen på en snögubbe" och ändra några andra detaljer, men i övrigt är det samma uppgift.

Studera enhetscirkeln för att hitta alla x som ger sin(x) = 1/sqrt(2)*. Dela sedan dessa med 3.

*Det här låter kanske lite besvärligt, men man bör associera värdet med några av "standardvinklarna" för sinus och cosinus. Livet blir lättare om man lär sig några sådana.

Det låter som en torftig formelsamling. Bra vinklar är typiskt 0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2 och motsvarande för de andra kvadranterna. sin(pi/4) är dock inte 1/2 (om jag tolkade dig rätt ovan).

Ett enkelt sätt att komma ihåg standardvinklarna är att rita upp 2 rätvinkliga trianglar som innehåller alla standardvinklar.

Triangel 1:

En triangel med kateter som båda är 1 långa och en hypotenusa som är sqrt(2). Vinklarna blir således pi/2, samt 2 vinklar som båda är pi/4.

Triangel 2:

En triangel med kateterna 1 och sqrt(3) samt hypotenusan 2. Vinklarna blir således pi/2, pi/3 samt pi/6.

Genom att rita upp dom där två och använda kända samband för de trigonometriska funktionerna så kan du lösa standardvinklarna.

Men annars håller jag med ovan om att enhetscirkeln allt som oftast är the way to go

Svaret beror helt på vilken betalningsmetod som används:
Kontanter: antalet dagar = antalet gånger som man måste sänka priset med 1/4 (0,5 * 1,5 = 0,75 = 1/4) för att priset ska komma under 50 öre.
Kort: Problemet saknar lösning. Rent teoretiskt kan du betala hur små summor som helst med kort. Tar du bort 1/4 så har du fortfarande 3/4 kvar och priset konvergerar mot 0 men blir aldrig 0.