Matematiktråden – få hjälp med dina matematikproblem här!

Ett annat bra sätt att ta fram en kontinuerlig funktions extrempunkter (och terrasspunkter) är att ta reda på i vilka punkter som funktionens derivata är lika med noll. Ty derivatan till f beskriver ju lutningen hos f i varje punkt, och i varje extrempunkt (och terrasspunkt) är lutningen på funktionen just noll. (En andragradsfunktion vet vi "ser ut som en glad eller ledsen mun", så den har inga terrasspunkter, endast en extrempunkt.)

Vi vill alltså lösa följande ekvation:

f ′(x) = 0

Då måste vi först ta fram ett uttryck för f ′(x). Det gör vi genom att derivera f(x):

f(x) = x² + 2x − 3
f ′(x) = 2x + 2

Nu ersätter vi vänsterledet i ekvationen vi vill lösa med det uttrycket:

f ′(x) = 0
2x + 2 = 0
2x = −2
x = −1

Se där ja! Vi har tagit fram det x vid vilket f(x) antar sitt extremvärde. Om vi nu vill ta reda på vad f(x) har för värde i den punkten kastar vi bara in det framtagna x-värdet, −1, som argument till f:

f(x) = x² + 2x − 3
f(−1) = (−1)² + 2 · (−1) − 3 = 1 + (−2) − 3 = 1 − 5 = −4

Därmed antar f sitt extremvärde i punkten (−1, −4).

Tack för hjälpen, har dock inte koll på vad derivata är. Går de inte igenom det i matte 2? Är 2 veckor från kursens slut..

https://www.youtube.com/watch?v=qRAMD1FqodU - 21:20 in

Han får det till -1, -8. Har han fel eller vad har jag missat?

Då är det ingen bra metod. Att plocka ut nollställena och sedan inse att symmetrilinjen och därmed extrempunkten måste ligga exakt mittemellan nollställena i x-led är en minst lika bra metod.

Som @gaminggirl antyder tar han fram extrempunkten för y = 2x² + 4x − 6, medan du skulle göra det för y = x² + 2x − 3.

Nej, det ser alldeles rätt ut.

@Kastroullen: Du ska inte använda funktionens derivata i den formeln utan ska stopp in f(x) = 3*x^2, den approximerar redan derivatan (förändringen) genom att beräkna hur mycket funktionsvärdet förändras i intervallet [2.9,3.1].

Beräkningen skall alltså bli: 3*(3.1^2 - 2.9^2) / (3.1-2.9)

Har fått hjärnsläpp och skulle behöva hjälp med en sak!
Låt säga att jag köper en lott som man har 10% chans att vinna på.
Hur hög blir sannolikheten att jag vinner om jag köper 10 lotter?

0.1 chans på vinst och 0.9 chans på icke-vinst.
Är det bara att ta 0,9^10 = cirka 35%

Alltså är det cirka 65% chans att jag då vinner på en av lotterna?

Räcker matte 2 till matematik delen på HP? Vad bör man träna på?

Planerar att kolla gamla prov men tänkte höra här också..

@Treant: matten på högskoleprovet är från matte 1 & 2, ja. Min bästa tips för HP är:

Rent generellt: Börja plugga i tid. De gamla proven finns att ladda ner. Det jag gjorde var att skriva ut typ 10 kompletta prov. Jag tog sedan tid på varje del av varje prov samt exakt poäng på varje del. Samlade detta i ett excel-dokument. Fokuserade sedan på delar där jag överlag presterade sämst.

För mattedelarna: Först och främst hjälper det så klart om du läst mycket matte innan, såsom på natur. Inte för att uppgifterna är svåra men mer för att man har det logiska tänket som gör att det går snabbare.
Något jag märkte första gången jag skrev var att jag löste uppgifterna "för långt". På den absoluta majoriteten av uppgifterna handlar det snarare om att utesluta svar genom logiska resonemang snarare än att ställa upp en ekvation etc. Utgå ifrån svarsalternativen och uteslut de som inte är rimliga.

Jag började också med kartuppgifterna längst bak i häftet. Uppgifterna är inte svåra när du är lugn men när du sitter där med några få minuter kvar och är jättestressad är de mycket svårare och man gör fler slarvfel.
För svensk/engelska:

För uppgifterna där du har en längre text med typ 6 frågor sparar du massor av tid på att läsa igenom frågorna ett par gånger innan du börjar läsa texten. När du sedan läser texten markerar du allt i texten som känns relevant för någon av frågorna. Mycket av det som står i texten har inget med frågorna att göra så du sparar massor av tid då du slipper läsa igenom texten 5 gånger för att hitta alla svar.
Att sitta och plugga ordbok för att sätta orden i början tror jag inte är särskilt effektivt. Min tanke på dem var bara om jag kunde något ord på nåt annat språk som liknade det aktuella ordet och om något av svarsalternativen hade någon synonym som kunde appliceras.

Med dessa tips höjde jag mig från 1,15 till 1,75

Ett annat tips för ekvationsdelen av matten är att testa sätta in de olika svaren i ekvationerna. Går oftast rätt snabbt och man är säker på att man gjort rätt.

För svenskdelen tror jag det bästa är att läsa böcker och dagstidningar, lär sig en del nya ord men framförallt så blir man duktig på att snabbt läsa igenom och tolka en text. Sen är det även kul att läsa när man väl kommit in i det.

Tack för hjälpen!

Hej,

Om du byter variabler till

x = R cos a
y = R sin a

och sen tittar på gränsen R->0 så kommer du få fram svaret.

Här gäller det att vara tydlig med vad man menar: "Vinna på en av lotterna" kan minst lika gärna tolkas som att vinna på exakt en lott.

Att vinna på minst en lott är komplementet till att förlora på alla lotter. Sannolikheten för ett komplement är inga problem:

P(¬A) = 1 − P(A)

Om sannolikheten att vinna på en enskild lott är 0,1 har vi helt korrekt att sannolikheten att förlora på en enskild lott är 1 − 0,1 = 0,9. Sannolikheten att förlora på tio lotter i rad är då mycket riktigt 0,9¹⁰.

Om A är "att vinna på minst en lott", dvs vi söker P(A), gäller alltså att

0,9¹⁰ = 1 − P(A)
0,9¹⁰ + P(A) = 1
P(A) = 1 − 0,9¹⁰
P(A) ≈ 1 − 0,35 = 0,65

Frågan "Hur stor är sannolikheten att vinna på exakt en lott?" är lite knepigare. Ritar man ett diagram över alla tänkbara händelseförlopp om man köper tre lotter (för det blir orimligt stort därefter) kan man se att det finns tre vägar genom det som ger resultatet att man vinner på exakt en lott. Vardera av de vägarna har sannolikheten

1/10 · 9/10 · 9/10 = 81/1000

och det finns tre stycken, så sannolikheten att vinna på exakt en lott om man köper tre är

3 · 81/1000 = 243/1000 = 0,243

Köper man tio lotter finns det tio sådana vägar och sannolikheten att då vinna på exakt en lott är därmed

10 · 1/10 · (9/10)⁹ ≈ 0,39

Mer generellt gäller alltså tydligen att om man köper x lotter som vardera har vinstchansen p är sannolikheten att vinna på minst en av dem

1 − (1 − p)^x

och sannolikheten att vinna på exakt en är

x · p · (1 − p)^{x − 1}

och så fick jag också lära mig något!

@Sibirius: Hej. Jag utgår ifrån att frågan är att du ska hitta största möjliga triangel som ryms mellan f(x)=x(3-x) och x-axeln. Ditt svar är lite otydligt men du har gjort helt rätt.

Istället för att börja beräkna andraderivatan så kan du ju sätta in x=0 och x=2 i uttrycket för arean och se vilket som ger störst värde. Nämn för läraren att du vet att andraderivatan kan användas för att avgöra om extrempunkten är ett lokalt maxima eller minima men påpeka att det går snabbare att helt enkelt sätta in de två x-värdena. Om du dessutom tänker efter, är det ens rimligt att x=0 kan ge den maximala arean? Då x är noll är ju basen noll så hela arean måste också bli noll.

Jag har själv gett många muntor och hade jag varit din lärare hade jag bett dig rita upp funktionen för arean (mellan x=0,3) så var beredd på att kunna göra det också.

Det verkar som du har förstått problemet så var inte orolig. Det kommer säkert att gå bra.

Det blir ganska svårläst när allting står i ett enda stycke utan någon formatering.

För det första tycker jag att frågan är svårtolkad. Ska man tänka att triangeln har sina hörn i (0, 0), (3, 0) och f(x)? Isåfall ser den ut så, och målet är att beräkna det största möjliga värdet på den blå arean:

Glöm inte att det är extremt bra att rita för att förstå ett problem!

f(x) = x(3 − x), 0 ≤ x ≤ 3

Arean A av en triangel beräknas som

A = bh / 2

där b är triangelns bas och h dess höjd. I vårt fall kan vi tänka att basen hos den största tänkbara triangeln som ligger inom det tillåtna området sträcker sig från (0, 0) till (3, 0). Då kan vi säga att b = 3, vilket ger

A = 3h / 2

Höjden h är i vårt fall lika med f(x), så

A(x) = 3 · f(x) / 2

och f är känd, så vi sätter in den:

A(x) = 3 · x(3 − x) / 2
A(x) = 1,5 · x(3 − x)
A(x) = 1,5 · (3x − x²)
A(x) = −1,5x² + 4,5x

Nu har vi A som en funktion av x. Vi är intresserade av att hitta maximivärdet på A, så vi deriverar den:

A′(x) = −3x + 4,5

Vi är särskilt intresserade av att finna det x sådant att A′(x) = 0, för just där hittar vi den punkt där A "vänder", vilken är dess extrempunkt:

0 = −3x + 4,5
3x = 4,5
3x / 3 = 4,5 / 3
x = 1,5

Nu vet vi att A är som störst när x = 1,5. Maxvärdet på A är alltså

A(1,5) = −1,5 · (1,5)² + 4,5 · 1,5
A(1,5) = −3/2 · (3/2)² + 9/2 · 3/2
A(1,5) = −3/2 · 9/4 + 9/2 · 3/2
A(1,5) = −27/8 + 27/4 = −27/8 + 54/8 = 27/8 = 3,375

Är det så man ska tolka frågan?

Då tror jag att jag tolkade den rätt. För de har väl inte sagt någonting om basens längd?

Det spelar ingen roll; det är "samma sak".