Matematiktråden – få hjälp med dina matematikproblem här!

Tack för svaret på förra uppgiften, vem det nu var som svarade.
Ännu en:

Hur ska man lösa denna ekvationen algebraiskt?
sin^2 x - 0.5 * sin x - 0.4 = 0

sätt t = sinx och du får följande ekvation:

t^2 - 0.5t - 0.4 = 0

Hur beräknar jag den generaliserade integralen F(s) = § arctan(sx)/(1+x^2)x dx från 0 till oo ?

Generaliserade integraler beräknas enklast genom att sätta någon beteckning på gränserna, och sedan räkna ut integralen, varpå man låter gränserna sedan gå mot resp. gränsvärde.

Jo, det förstår jag. Men problemet ligger i att man ska derivera m.a.p s under integrationstecknet. Då får man F'(s) = § 1/(1+(sx)^2)(1+x^2) dx. Längre än så kommer jag inte.

Hur ska man gå till väga för att beräkna arean av en triangel med måtten 4,2 3,0 & 2,6?

Tips: Areasatsen
http://sv.wikipedia.org/wiki/Areasatsen
Tips2: Du har ju alla längderna a, b, c och med hjälp av cosinussatsen ( http://goto.glocalnet.net/lt/cossats.html) kan du räkna ut en vinkel (A, B, eller C; vilken spelar ingen roll).

Med herons formel slipper du räkna ut vinkeln. Säg att sidorna är a, b respektive c. Då är arean A = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), där p = (a+b+c)/2.

Kört fast på dessa:

e^3x - 3e^2x + 2 = 0

och

2 + sqrt(2x-4) = x/4 + sqrt(x-2/2)

Antar att det ska vara e^(3x) - 3^(2x) + 2 = 0. Skriv t = e^x, så övergår ekvationen i t^3 - 3t^2 + 2 = 0. Sen får man typ gissa en rot och använda polynomdivision för att hitta de andra rötterna.

För 2 + sqrt(2x-4) = x/4 + sqrt(x-2/2), notera att sqrt(2x - 4) = sqrt(2(x - 2)) = sqrt(2) * sqrt(x - 2), och att sqrt((x - 2)/2) = sqrt(x - 2) * 1/sqrt(2). Du kan alltså flytta över lite grejer så att du bara får ett rotuttryck, och sen kan du kvadrera.

Hmm, testat räkna på det viset och får rötterna -1,1,3.
Svaret är 0 och ln(1+sqrt(3)), skall man inte följa exp/logaritmlagarna?

t^3 - 3t^2 + 2 = 0

Noterar att t=1 är en rot alltså t - 1 | t^3 - 3t^2 + 2. Utför man polynomdivision får man (t^3 - 3t^2 + 2)/(t - 1) = t^2 - 2t - 2. Lösningarna till t^2 - 2t - 2 = 0 ger:

t^2 - 2t = 2
t^2 - 2t + 1 = 3
(t - 1)^2 = 3
t = 1 +- sqrt(3)

Alltså alla rötter till e^(3x) - 3e^(2x) + 2 = 0 är de x som uppfyller

(1) e^x = 1
(2) e^x = 1 + sqrt(3)
(3) e^x = 1 - sqrt(3)

(1) ger x = 0, (2) ger x = ln(1+sqrt(3)) och (3) ger inte reella svar

Tackar, hur skulle du ha räknat andra talet?

2 + sqrt(2x-4) = x/4 + sqrt(x-2/2)

Precis som Muzzafarath föreslog ...

"notera att sqrt(2x - 4) = sqrt(2(x - 2)) = sqrt(2) * sqrt(x - 2), och att sqrt((x - 2)/2) = sqrt(x - 2) * 1/sqrt(2)."

Alltså 2 + sqrt(2)*(x - 2) = x/4 + sqrt(x - 2)/sqrt(2), flyttar man lite får man

2 - x/4 = sqrt(x-2)*sqrt(2) + sqrt(x-2)/sqrt(2)
2 - x/4 = sqrt(x-2)[sqrt(2) + 1/sqrt(2)]
(2 - x/4)^2 = (x - 2) * [sqrt(2) + 1/sqrt(2)]^2.

Lös ekvationen och prova rötterna. Man kan fördelaktligen låt w = [sqrt(2) + 1/sqrt(2)]^2 så man inte får så mycket siffror att hålla koll på

Måste vara den största vinkeln. Annars måste man ta 180-v.

Hur räknar man ut denna?:

6x^2-5x+1=0

funkar inte för mig... tror du skrev fel förresten.. du mena nog 5x/6 istället för 5/6x

Nej, jag menade (5/6)x.
Vad är det som itne funkar?

Kan säga att jag får ut två svar i vilket fall som helst, så ekvationen funkar.

Hej, jag skulle gärna vilja ha hjälp med en uppgift jag inte lyckats fixa.

integralen (|(N*x * exp(-x/a)|)^2 dx ska integreras från 0 --> oo och integralen ska då bli 1. Bestäm N

Jag tror du kan göra så här:

Nyttja att om § abs(N*x*exp(-x/a))^2 dx, så om N, x och a är reella tal gäller att abs(N*x*exp(-x/a))^2 = [abs(N)*abs(x)*abs(exp(-x/a))]^2 = N^2*x^2 * e^(-2x/a). Alltså har du

N^2 § x^2 * e^(-2x/a) dx. Partiell integration ger att § x^2 * e^(-2x/a) dx = -(2ax^2 + 2a^2*x + a^3) * e^(-2x/a)/4. Bestämmer man gränsvärdet när x -> 0 får man att uttrycket går mot -a^3/4. Bestämmer man gränsvärdet när x -> oo bör man få 0 oavsett på a-värdet (e^(-2x/a) närmar sig 0 snabbar än polynomet närmar sig +-oo). Alltså bör värdet på din integral bli N^2 * a^3/4. Om detta ska vara lika med 1 bör du får N^2 * a^3/4 = 1. Alltså N = 2/sqrt(a^3).

Men detta är jag inte så säker på

Edit: I steget "När x -> oo bör man få 0 oavsett a-värdet" så har jag förvisso förutsatt att a > 0. Om a <= 0 tror jag konstiga saker händer med integralen.

varför vrider i (roten ur minus 1) en vektor 90 grader moturs?

Låt z vara ett komplext tal z=re^(iv). Parametrisera i som i = e^(i*pi/2), då är z*i = re^(iv+i*pi/2). Detta ger att multiplikation med i är som att vrida talet 90 grader. Vill du ha z = a + bi (kanske lättare att se då ...) så är ju z*i = -b + ai. Att markera var talen finns är inte svårt

om man ska dividera cos(x) med cos(y) är det bara cos(x-y) ? eller mins jag fel ?
gäller samma för sin?

Du minns fel. Här har du de trigonometriska formlerna: http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricAdditionFormulas.ht...

doch ser jag inte formula för cos(x)/cos(y)

Kanske går att nyttja att e^(ix) = cos(x)+i*sin(x) och e^(iy)=cos(y)+i*sin(y), då är e^(ix)/e^(iy) = e^(ix-iy). Så realdelen är cos(x-y). Dock bör y!=pi/2+2npi, för i så fall är cos(y)=0.

För sin(x)/sin(y) bör du få sin(x-y) om y!=pi*n.

Du kan nog inte förkorta den mer.

möjligtvis denna omskrivning, som knappast kan anses vara simplare
y = x+c
cos(x)/cos(y) = cos(x)/cos(x+c) = cos(x)/(cos(x)cos(c)+sin(x)sin(c))
= 1/cos(c) + 1/tan(x)sin(c)

eller
cos(x)sec(y)

eller om y=90+x
cos(x-90)/cos(y) = sin(y)/cos(y)=tan(y)

om man har ekv
y''+y=(x^2)*sinx

kan man ansätta för Yp (ax^2+bx+c)(acosx +bsinx) ? eller finns det smartare sätt?