Matematiktråden (dina matematikproblem här!)

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Nov 2010
Skrivet av Alling:

Till att börja med är det viktigt att du förstår att dina ska vara =. Det kan låta ovidkommande, men det är det inte. Det är av yttersta vikt att förstå skillnaden mellan ett ”vanligt matematiskt uttryck” och ett påstående. Ett påstående är något som skulle kunna vara sant eller falskt, och det är bara sådana som kan ha (eller ) mellan sig.

Som exempel är 5 inget påstående, så ”5 ⇔ …” och ”… ⇔ 5” saknar helt och hållet betydelse, oavsett vad ”…” är. Däremot är 5 = 5, 5 = 6, 5 > 10 och 5 ∈ ℝ påståenden. (Notera att ett påstående inte behöver vara sant; det behöver bara kunna vara antingen sant eller falskt.)

Det går enkelt att komma fram till att summor inte är påståenden:

  1. 6 är helt klart inget påstående.

  2. 1 + 2 + 3 är inget påstående, ty det är (via förenkling) samma sak som 6, och 6 är enligt (1) inget påstående.

  3. Σi ∈ [1, 3] i är inget påstående, ty det är (per definition) samma sak som 1 + 2 + 3, och 1 + 2 + 3 är enligt (2) inget påstående.

Ett exempel på något som är ett påstående är Σi ∈ [1, 3] i = 6, så följande är helt korrekt:

Σi ∈ [1, 3] i = 6   ⇔   10 · (Σi ∈ [1, 3] i) = 60

Inte svaret jag letade efter, men tack för förklaringen

Skickades från m.sweclockers.com

Världens ondska rangordnas enligt följande:
Personer som fuskar i spel
"Nedladdnings annonser" på nedladdningshemsidor
Copyswede
TS som inte svarar!

Trädvy Permalänk
Medlem
Registrerad
Nov 2013

Hur räknar man på osäkerhet, låt säga att man vill räkna arean av ett rum med måtten 3,1 ± 0,1 och 4,3 ± 0,2 blir det då 3,1*4,3 ± (0,1+0,2)
13,3 ± 0,3

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Skåne
Registrerad
Okt 2009
Skrivet av Jimemy:

Hur räknar man på osäkerhet, låt säga att man vill räkna arean av ett rum med måtten 3,1 ± 0,1 och 4,3 ± 0,2 blir det då 3,1*4,3 ± (0,1+0,2)
13,3 ± 0,3

Du får väl räkna ut minsta och största möjliga area, subtrahera dem med varandra och dela på två för att få ut ett korrekt svar.
Största area: 3,2*4,5=14,4
Minsta area: 3,0*4,1=12,3

Så blir svaret 13,05 ± 1,05, vilket borde avrundas till 13,1±1,1.

Skickades från m.sweclockers.com

| i5 4670k@stock + Noctua NH-U12s | GA-Z87X-UD3H | 16GB Corsair Vengeance LP 1600MHz | Asus GTX 1060 Strix OC | Define R4 + Noctua NF-A14 (x2) & NF-S12A + Noctua NA-FC1 | FD Newton R3 600W | Intel 730 240GB + Crucial MX300 2TB |

Trädvy Permalänk
Medlem
Registrerad
Jun 2011
Skrivet av klirre:

Du får väl räkna ut minsta och största möjliga area, subtrahera dem med varandra och dela på två för att få ut ett korrekt svar.
Största area: 3,2*4,5=14,4
Minsta area: 3,0*4,1=12,3

Så blir svaret 13,05 ± 1,05, vilket borde avrundas till 13,1±1,1.

Skickades från m.sweclockers.com

Om jag inte tänker helt fel så borde ditt närmevärde vara 13.33, annars håller jag med om felmarginalen Nu vet jag inte hur långt @Jimemy har kommit i sin matteutbildning, men om man är intresserad så kan det vara värt att gå igenom en mer allmänt applicerbar metod för maximalfelsuppskattning. Den allmänna formeln för (approximativa) felet vid beräkning av en funktion f ser ut på följande vis:

Där Δxk är det absoluta felet för de ingående termerna i f.
I detta fall vill vi beräkna arean A:

Det maximala felet för A blir då enligt vår första formel:

Och det slutliga svaret blir:

Intel Core i5 4670k @ 4.5 GHz - 2 x EVGA GTX 780 SC ACX - MSI Z87-G45 - Corsair Vengeance LP 16 GB - 3 x 1 TB HDD -
2 x 250 GB SSD - ASUS Xonar DGX - EVGA Supernova G2 850W - NZXT H440

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Skåne
Registrerad
Okt 2009

@Fille625: Helt rätt, blev fel nånstans på vägen när jag räknade utan papper och penna. Klart att närmevärdet ska vara 13,33. Jag har inte matten så färsk som du verkar ha den, men antog att man måste beräkna extremvärdena för att få en bra uppskattning av hur mätfelet varierar.

| i5 4670k@stock + Noctua NH-U12s | GA-Z87X-UD3H | 16GB Corsair Vengeance LP 1600MHz | Asus GTX 1060 Strix OC | Define R4 + Noctua NF-A14 (x2) & NF-S12A + Noctua NA-FC1 | FD Newton R3 600W | Intel 730 240GB + Crucial MX300 2TB |

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Jönköping
Registrerad
Sep 2016

Någon som kan hjälpa mig med denna uppgiften från kursen envariabelanalys?
eller iaf ge mig något tips hur man ska tänka

https://imgur.com/rlz06cv

Tack på förhand!

MacBook Pro 15" 2018

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Aug 2011

@linusj97: Att en funktion är kontinuerlig betyder att det inte finns några "hopp" i funktionsvärdet. Vad händer i punkten x=0? Det givna variabelbytet är smidigt att använda, vad händer med t då x går mot 0?

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Mar 2005
Skrivet av linusj97:

Någon som kan hjälpa mig med denna uppgiften från kursen envariabelanalys?
eller iaf ge mig något tips hur man ska tänka

https://imgur.com/rlz06cv

Tack på förhand!

Beräkna a så att sqrt(1/x^2 + a/x)-1/x = 1 för x -->0+,, x>0 för- vilket är påminner om derivaten till sqrt(1+x),
Bättre så?

Falta med sinc:en och se helheten

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Jönköping
Registrerad
Sep 2016
Skrivet av Zketch:

@linusj97: Att en funktion är kontinuerlig betyder att det inte finns några "hopp" i funktionsvärdet. Vad händer i punkten x=0? Det givna variabelbytet är smidigt att använda, vad händer med t då x går mot 0?

Är med på vad kontinuerlig betyder, i punkten x=0 sker en förändring i y-led antar jag. Innan dess har ju funktionen legat platt på = 1.
t går väl mot oändligheten då x går mot 0? Eller tänker jag fel?

1/ett väldigt litet tal = stort tal

MacBook Pro 15" 2018

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Jönköping
Registrerad
Sep 2016
Skrivet av pennyafnorberg:

Beräkna a så att sqrt(1/x^2 + a/x)-1/x = 1 för x -->0+,, x>0 för- vilket är påminner om derivaten till sqrt(1+x),
Bättre så?

Så du menar att jag bör få något som liknar derivatan av sqrt(1+x), vilket är 1 / 2sqrt(1+x)

MacBook Pro 15" 2018

Trädvy Permalänk
Entusiast
Testpilot
Plats
Chalmers
Registrerad
Aug 2011
Skrivet av linusj97:

Är med på vad kontinuerlig betyder, i punkten x=0 sker en förändring i y-led antar jag. Innan dess har ju funktionen legat platt på = 1.

Klurar man lite kan man nog hålla med om att om en funktion f ska vara kontinuerlig i en punkt x0 måste funktionsvärdet f(x) närma sig f(x0) när x närmar sig x0. Eller på matematiska, följande måste vara sant:

limxx0 (f(x)) = f(x0)

Citat:

t går väl mot oändligheten då x går mot 0? Eller tänker jag fel?

1/ett väldigt litet tal = stort tal

Det stämmer bra, eftersom du endast kommer vara intresserad av positiva x. I allmänhet är dock

limx → 0 (1/x)

inte definierat.

5930K • Corsair DP 32 GiB • EVGA GTX 980 • 2x Swift PG278Q
Better SweClockersDisplayPort över USB-C

Köp processor för framtiden™, men inte grafikkort.

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Jönköping
Registrerad
Sep 2016

@Alling:

Har genom att beräkna sqrt(1/x^2 + a/x)-1/x = 1:
Fått fram två möjliga x, x=0 samt x=-2+a.
x=0 är inte en giltig lösning eftersom det skulle bli 1/0.

Använder jag nu x=-2+a för alla x i funktionen ovan och löser ut ett värdet på a?

MacBook Pro 15" 2018

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Mar 2005
Skrivet av linusj97:

@Alling:

Har genom att beräkna sqrt(1/x^2 + a/x)-1/x = 1:
Fått fram två möjliga x, x=0 samt x=-2+a.
x=0 är inte en giltig lösning eftersom det skulle bli 1/0.

Använder jag nu x=-2+a för alla x i funktionen ovan och löser ut ett värdet på a?

Enligt uppgift ska du kolla för x=0, ser inte ut att vara väldefinerat men det kan hända att gränsvärde existerar

sqrt(1/x^2 + a/x)-1/x = 1:
sqrt(1+ax)/abs(x)-1/x=1
x>0 => abs(x)=x
ger
(sqrt(1+ax)-1)/x och du ska ta x går mot 0(+)

kan skrivas som (sqrt(1+ax)-sqrt(1))/x och tja motsvarade för derivata av sqrt(t)vid t=1 (sqrt(1+x)-sqrt(1))/x, x går mot 0

Falta med sinc:en och se helheten

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Aug 2011
Skrivet av linusj97:

@Alling:

Har genom att beräkna sqrt(1/x^2 + a/x)-1/x = 1:
Fått fram två möjliga x, x=0 samt x=-2+a.
x=0 är inte en giltig lösning eftersom det skulle bli 1/0.

Använder jag nu x=-2+a för alla x i funktionen ovan och löser ut ett värdet på a?

Du kanske löste det, men det är ju a du vill ha fram inte x. Då x är 0 får du ju enligt din egen lösning ovan 0=-2+a, alltså a=2. Det är sant att du inte "får" sätta x = 0 men vi kollar på gränsvärden, vilket det står mer om i din bok!

Skrivet av pennyafnorberg:

Enligt uppgift ska du kolla för x=0, ser inte ut att vara väldefinerat men det kan hända att gränsvärde existerar

sqrt(1/x^2 + a/x)-1/x = 1:
sqrt(1+ax)/abs(x)-1/x=1
x>0 => abs(x)=x
ger
(sqrt(1+ax)-1)/x och du ska ta x går mot 0(+)

kan skrivas som (sqrt(1+ax)-sqrt(1))/x och tja motsvarade för derivata av sqrt(t)vid t=1 (sqrt(1+x)-sqrt(1))/x, x går mot 0

Förstår inte vad du försöker visa? Hur hjälper absolutbelopp hen att förstå uppgiften och varför ens blanda in derivata?

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Jönköping
Registrerad
Sep 2016

@Zketch

Fick fram lösning a=2, precis som du säger.
Ska kolla med de andra kursarna imorgon vad det fått och hur de gått tillväga
Tack för tipsen/hjälpen alla!

MacBook Pro 15" 2018

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Luleå
Registrerad
Apr 2007

Mina elever frågade mig en nötig fråga angående sammansatta funktioner och kedjeregeln i fjärde gymnasiekursen matte 4. Första steget är att identifiera inre och yttre funktion, men hur vet jag säkert och generellt vad som är en inre och yttre funktion? På denna nivå har vi ju parenteser och mycket tydliga exempel där inre och yttre funktioner är lättidentifierade. Jag har gett svaret att man antingen ser det på vana/intuition för att man har tagit sin matte seriöst eller att man kan försöka kolla efter parenteser synliga eller ej. Vad ska jag egentligen säga?

/Vikarien

Skickades från m.sweclockers.com

It's not that you don't comprehend what's laid out before you, or that you're unable to process. It's all about what you're to live up to, your position, an identity created by the expectations of your affiliation.

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Stockholm
Registrerad
Mar 2005
Skrivet av Alakai:

Mina elever frågade mig en nötig fråga angående sammansatta funktioner och kedjeregeln i fjärde gymnasiekursen matte 4. Första steget är att identifiera inre och yttre funktion, men hur vet jag säkert och generellt vad som är en inre och yttre funktion? På denna nivå har vi ju parenteser och mycket tydliga exempel där inre och yttre funktioner är lättidentifierade. Jag har gett svaret att man antingen ser det på vana/intuition för att man har tagit sin matte seriöst eller att man kan försöka kolla efter parenteser synliga eller ej. Vad ska jag egentligen säga?

/Vikarien

Skickades från m.sweclockers.com

Jag har alltid tänkt som h(x)=f(g(x)) och kedjereglen blir dh/dx=(df/dg)*(dg/dx)

Falta med sinc:en och se helheten

Trädvy Permalänk
Entusiast
Testpilot
Plats
Chalmers
Registrerad
Aug 2011
Skrivet av Alakai:

Mina elever frågade mig en nötig fråga angående sammansatta funktioner och kedjeregeln i fjärde gymnasiekursen matte 4. Första steget är att identifiera inre och yttre funktion, men hur vet jag säkert och generellt vad som är en inre och yttre funktion? På denna nivå har vi ju parenteser och mycket tydliga exempel där inre och yttre funktioner är lättidentifierade. Jag har gett svaret att man antingen ser det på vana/intuition för att man har tagit sin matte seriöst eller att man kan försöka kolla efter parenteser synliga eller ej. Vad ska jag egentligen säga?

/Vikarien

Jag skulle säga att man först måste veta vad en funktion är. Det är något som påfallande många gymnasieelever (och högskolestudenter) inte har bra koll på, trots att nästan samtliga tror sig veta. Jag var definitivt en av dem när jag tog studenten, och det var först en bit in på högskolan, mycket tack vare funktionell programmering, som bitarna föll på plats.

Framförallt är det ju extremt viktigt att förstå begreppet funktion. På gymnasienivå tycker jag att analogin ”maskin som man lägger in något i och får ut något ur” är bra för att förstå. Men den konceptuella förståelsen måste paras ihop med förståelse för den matematiska notationen, och där är kunskapsbristerna stora.

Först har vi det klassiska att tro att f (x) = 2x är en funktion, när det ju i själva verket är en ekvation som beskriver en funktion. Denna missuppfattning tror jag klaras upp relativt ofta, redan under gymnasietiden.

Det som däremot är extremt utbrett är att blanda ihop f och f (x), vilket kan ha långtgående negativa konsekvenser på andra koncept inom matematiken. Exempelvis trodde jag i gymnasiet att f ′(x) var en derivata med avseende på x medan f ′(a) var med avseende på a. Jag hade jättesvårt för uttryck som f (x + 1) och så vidare; listan kan göras lång. Ingenting makeade sense för mig i gymnasiet och en bit in på högskolan, då alla bitar plötsligt föll på plats.

Jag säger aldrig längre ”låt f (x) vara en funktion” (om jag inte faktiskt menar det, och det gör vi inte nu). I gymnasiematten, där man endast studerar funktioner av typen ℝ → ℝ, är f (x) aldrig en funktion. f brukar vara en funktion, och f (x) är då ett tal – specifikt det tal man ”får tillbaka” från f om man ger x till f.

För att understryka skillnaden brukar jag säga att om f är en chokladfabrik så är f (x) en chokladkaka (efter att ha förklarat att en funktion inte nödvändigtvis måste mappa just reella tal till reella tal), och x kanske är en sorts kakao eller dylikt. Man kan också ta en ekvation som f (x) = 5 och fråga sig: 5 är helt klart ingen funktion, så hur kan f (x) vara det om de är lika med varandra?

Denna insikt var helt otroligt värdefull för mig, och jag önskar att alla fick chansen att förstå detta redan då man börjar studera funktioner. Plötsligt förstod jag alla uttryck jag tidigare hade tyckt var konstiga och med vilka jag i bästa fall bara hade lärt mig ”hur man ska göra för att det ska bli rätt”.

Med ovanstående som bakgrund blir nog ingen förvånad att jag inte heller kallar till exempel ex för en funktion. För att inte påtvinga en gymnasieelev lambdauttryck eller dylikt, som x ↦ ex, säger jag gärna att e upphöjt till” är en funktion, och/eller att ex är något man fått tillbaka från en funktion. Vilket funktion då? Jo, just ”e upphöjt till”, ”den funktion som ger tillbaka e upphöjt till det man gav in” eller liknande.

På liknande sätt kallar jag ln, sin och f ′ för funktioner, men inte ln(x), sin(x) eller f ′(x). Detta hjälper också eleven att inte överdriva betydelsen av namnet på den varierande variabelns. Då blir det lättare att förstå att ekvationerna

    f (x) = sin(5x + 2)

och

    f (z) = sin(5z + 2)

berättar exakt samma sak, det blir lättare att förstå derivata och så vidare och så vidare.


Låt oss då ta ett exempel på kedjeregeln. Låt f vara given av

    f (x) = sin(2x)

Hur ska vi bestämma f ′ och/eller f ′(x)?

Om man vet att sin är en funktion kan man nog se att ”det sista f gör” är att applicera sin. OK, så sin kan ses som den yttre funktionen. Vad säger kedjeregeln? På matematiska säger den följande:

    d/dxfyttre(finre(x)) ) = fyttre′(finre(x)) · finre′(x)

Men det viktiga är vad den säger på svenska: Derivatan av en sammansatt funktion ger tillbaka den yttre funktionen applicerad på det den inre ger tillbaka, multiplicerat med det den inres derivata ger tillbaka. (Det är naturligtvis inte en mening som alla förstår rätt upp och ner, utan man får ju förklara den interaktivt.)

I vårt exempel var sin den yttre funktionen, alltså fyttre = sin. Den inre måste då vara den som ger tillbaka 2x när den får x, alltså finre = dubbleringsfunktionen. Förutsatt att vi nu kan derivera både sin och dubbleringsfunktionen, samt applicera dem på vilket argument som helst, kan vi bestämma f ′(x) och därmed f ′.

Det är ofta till god hjälp att faktiskt definiera fyttre och finre vid sidan av, och sedan försäkra sig om att fyttre(finre(x)) och f (x) verkligen förenklas till samma sak:

    fyttre(x) = …
    finre(x) = …
    fyttre(finre(x)) = …

Svaret på frågan om vilken som är yttre och vilken som är inre funktion kokar i slutänden ner till att man väljer själv. Man vill bara gärna välja en yttre som är ”lagom enkel”, för man vill kunna derivera den.

Råkar man välja en ”för enkel” yttre blir uträkningen längre (eftersom den inre då kanske blir mer sammansatt än den hade behövt vara). Ett specialfall av det är att man väljer identitetsfunktionen, x ↦ x, som yttre. Då funkar kedjeregeln precis som vanligt, men man kommer bara tillbaka till ruta ett efter att ha använt den.

Råkar man välja en ”för komplex” yttre kommer kedjeregeln också funka som vanligt, men man lär behöva kedjeregeln för att bara derivera den yttre funktionen. Även här kommer man tillbaka till där man var om man väljer yttre så att inre blir identitetsfunktionen.

Mycket av det jag skrivit om kedjeregeln ovan grundar sig på god förståelse för funktioner, och matematiken handlar ju så otroligt mycket om funktioner från och med gymnasiet, så jag vill gärna uppmuntra till att ta den tid som behövs för att ge eleverna den förståelsen.

Ett sista tips är att notationen d/dx f (x) (eller D f (x)) är extremt praktisk, inte minst vid användning av kedjeregeln, eftersom den möjliggör beskrivning av en derivata ”inline”, utan att man måste krångla med att definiera en ny funktion, ge den ett namn osv.

5930K • Corsair DP 32 GiB • EVGA GTX 980 • 2x Swift PG278Q
Better SweClockersDisplayPort över USB-C

Köp processor för framtiden™, men inte grafikkort.

Trädvy Permalänk
Medlem
Plats
Göteborg
Registrerad
Dec 2008

Blir galen på en uppgift som jag inte får till.

Funktionen f(x)=(2x^3+x)/(x^2+2) är inverterbar. Bestäm derivatan (f^-1)'(0).

Eftersom (f^-1)'(y)=1/f'(x) så kollar jag upp vilka x som ger f(x)=0. Finns bara ett reellt x som ger det, x=0.

f'(x)=((6x^2+1)(x^2+2)-(2x^3+x)(2x))/(x^2+2)^2
sätter in x=0 och får f'(0)=1/2.

Enligt regeln ovan så borde alltså (f^-1)'(0)=1/(1/2)=2

Men får att det inte är korrekt när jag matar in det.
Tänker jag galet?

Salamandern